与えられた $x$ の関数 $y$ について、$\frac{dy}{dx}$ を $y$ で表す。問題は3つあります。 (1) $x = y^2 - 2y$ (2) $x = y^2 + y + 1$ (3) $x = \tan y \quad (-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2})$

1. 問題の内容

与えられた $x$ の関数 $y$ について、$\frac{dy}{dx}$ を $y$ で表す。問題は3つあります。

(1) $x = y^2 - 2y$

(2) $x = y^2 + y + 1$

(3) $x = \tan y \quad (-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2})$

2. 解き方の手順

$\frac{dy}{dx}$ を求めるために、まず $\frac{dx}{dy}$ を求め、その後 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$ を使用します。

(1) $x = y^2 - 2y$

両辺を $y$ で微分すると、

$\frac{dx}{dy} = 2y - 2$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y - 2} = \frac{1}{2(y-1)}$

(2) $x = y^2 + y + 1$

両辺を $y$ で微分すると、

$\frac{dx}{dy} = 2y + 1$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y + 1}$

(3) $x = \tan y$

両辺を $y$ で微分すると、

$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\cos^2 y} = \sec^2 y$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y} = \cos^2 y$

$\cos^2 y$ を $y$ を使って表す必要があります。$\tan y = x$ より、

$1 + \tan^2 y = \sec^2 y$

$1 + x^2 = \sec^2 y$

よって $\cos^2 y = \frac{1}{1 + x^2}$ である。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \cos^2 y = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1+x^2}$

ここで、$x = \tan y$ なので、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \tan^2 y}$ です。

しかし、最終的な答えは$y$ で表す必要があるので、$\cos^2 y = \frac{1}{1 + \tan^2 y}$　のままにしておきます。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(y-1)}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y + 1}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \cos^2 y$