与えられた極限を定積分で表す問題です。問題は以下の通りです。 $\lim_{n \to \infty} (\log \sqrt{n+1} + \log \sqrt{n+2} + \dots + \log \sqrt{2n} - \log n)$

1. 問題の内容

与えられた極限を定積分で表す問題です。問題は以下の通りです。

$\lim_{n \to \infty} (\log \sqrt{n+1} + \log \sqrt{n+2} + \dots + \log \sqrt{2n} - \log n)$

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を使って式を整理します。

$\log a + \log b = \log (ab)$

$\log a - \log b = \log (a/b)$

$\log a^b = b\log a$

を用いて与式を変形します。

$\lim_{n \to \infty} (\log \sqrt{n+1} + \log \sqrt{n+2} + \dots + \log \sqrt{2n} - \log n)$

$= \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^n \log \sqrt{n+k} - \log n \right)$

$= \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^n \log \sqrt{n+k} - \sum_{k=1}^n \log \sqrt{n^2} \right)$

$= \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^n \log \sqrt{n+k} - \sum_{k=1}^n \log n \right)$

$= \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n (\log \sqrt{n+k} - \log n)$

$= \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \log \left( \frac{\sqrt{n+k}}{n} \right)$

$= \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \log \sqrt{\frac{n+k}{n^2}}$

$= \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \log \sqrt{\frac{n+k}{n} \cdot \frac{1}{n}}$

$= \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \log \sqrt{\frac{n(1+k/n)}{n} \cdot \frac{1}{n}}$

$= \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \log \left( \frac{\sqrt{1+k/n}}{\sqrt{n}} \right)$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \log (1+k/n) - \frac{1}{2} \log n \sum_{k=1}^n 1$

$= \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \log \left( \sqrt{1+\frac{k}{n}} \right)$

$= \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \log \sqrt{1 + \frac{k}{n}}$

$= \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{2} \log \left(1 + \frac{k}{n} \right)$

$= \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{2} \log \left(1 + \frac{k}{n} \right) \cdot \frac{1}{n} \cdot n$

$= \frac{1}{2} \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \log \left(1 + \frac{k}{n} \right) \frac{1}{n} \cdot n$

ここで、$n$ が邪魔なので、別の方法で考えてみます。

$\lim_{n \to \infty} (\log \sqrt{n+1} + \log \sqrt{n+2} + \dots + \log \sqrt{2n} - \log n)$

$= \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{k=1}^n \log \sqrt{n+k} - n \log n \right]$

$= \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{2} \log (n+k) - n \log n \right]$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left[ \sum_{k=1}^n \log (n+k) - 2n \log n \right]$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left[ \sum_{k=1}^n \log (n(1+k/n)) - \sum_{k=1}^n 2\log n \right]$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left[ \sum_{k=1}^n (\log n + \log (1+k/n)) - \sum_{k=1}^n \log n^2 \right]$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left[ \sum_{k=1}^n \log n + \sum_{k=1}^n \log (1+k/n) - \sum_{k=1}^n 2\log n \right]$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left[ n \log n + \sum_{k=1}^n \log (1+k/n) - 2n\log n \right]$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left[ \sum_{k=1}^n \log (1+k/n) - n \log n \right]$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \log (1+k/n) - \frac{1}{2} n\log n$

$= \frac{1}{2} \int_0^1 \log (1+x) dx$

$\int \log(1+x) dx = (1+x)\log(1+x)-(1+x)$

$\int_0^1 \log(1+x) dx = 2\log2-2 - (1\log 1 - 1) = 2 \log 2 - 1$

$= \frac{1}{2} (2\log 2 - 1) = \log 2 - \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\log 2 - \frac{1}{2}$