与えられた3つの関数をそれぞれ積分する問題です。積分定数は $C$ とします。 (1) $\int \frac{x+2}{x^2+2x-3} dx$ (2) $\int \frac{1}{x^4-1} dx$ (3) $\int \frac{x^3-x^2-4x}{x^3-3x^2+3x-1} dx$

はい、承知いたしました。与えられた問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた3つの関数をそれぞれ積分する問題です。積分定数は $C$ とします。

(1) $\int \frac{x+2}{x^2+2x-3} dx$

(2) $\int \frac{1}{x^4-1} dx$

(3) $\int \frac{x^3-x^2-4x}{x^3-3x^2+3x-1} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{x+2}{x^2+2x-3} dx$

まず、分母を因数分解します。

$x^2+2x-3 = (x+3)(x-1)$

次に、部分分数分解を行います。

$\frac{x+2}{(x+3)(x-1)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-1}$

両辺に $(x+3)(x-1)$ をかけると

$x+2 = A(x-1) + B(x+3)$

$x=1$ のとき $3 = 4B$ より $B = \frac{3}{4}$

$x=-3$ のとき $-1 = -4A$ より $A = \frac{1}{4}$

よって、

$\frac{x+2}{(x+3)(x-1)} = \frac{1/4}{x+3} + \frac{3/4}{x-1}$

$\int \frac{x+2}{x^2+2x-3} dx = \int \left( \frac{1/4}{x+3} + \frac{3/4}{x-1} \right) dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{x+3} dx + \frac{3}{4} \int \frac{1}{x-1} dx$

$= \frac{1}{4} \ln|x+3| + \frac{3}{4} \ln|x-1| + C$

(2) $\int \frac{1}{x^4-1} dx$

$x^4-1 = (x^2-1)(x^2+1) = (x-1)(x+1)(x^2+1)$

$\frac{1}{x^4-1} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} + \frac{Cx+D}{x^2+1}$

両辺に $(x-1)(x+1)(x^2+1)$ をかけると

$1 = A(x+1)(x^2+1) + B(x-1)(x^2+1) + (Cx+D)(x-1)(x+1)$

$x=1$ のとき $1 = A(2)(2)$ より $A = \frac{1}{4}$

$x=-1$ のとき $1 = B(-2)(2)$ より $B = -\frac{1}{4}$

$1 = \frac{1}{4}(x+1)(x^2+1) - \frac{1}{4}(x-1)(x^2+1) + (Cx+D)(x^2-1)$

$1 = \frac{1}{4}(x^3+x^2+x+1) - \frac{1}{4}(x^3-x^2+x-1) + Cx^3 - Cx + Dx^2 - D$

$1 = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2} + Cx^3 - Cx + Dx^2 - D$

係数を比較して $C=0$, $\frac{1}{2}+D=0$, $D=-\frac{1}{2}$

$\frac{1}{x^4-1} = \frac{1/4}{x-1} - \frac{1/4}{x+1} - \frac{1/2}{x^2+1}$

$\int \frac{1}{x^4-1} dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{x-1} dx - \frac{1}{4} \int \frac{1}{x+1} dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2+1} dx$

$= \frac{1}{4} \ln|x-1| - \frac{1}{4} \ln|x+1| - \frac{1}{2} \arctan(x) + C$

$= \frac{1}{4} \ln\left| \frac{x-1}{x+1} \right| - \frac{1}{2} \arctan(x) + C$

(3) $\int \frac{x^3-x^2-4x}{x^3-3x^2+3x-1} dx$

$x^3-3x^2+3x-1 = (x-1)^3$

$\frac{x^3-x^2-4x}{(x-1)^3} = \frac{x^3-3x^2+3x-1 + 2x^2 - 7x + 1}{(x-1)^3} = 1 + \frac{2x^2 - 7x + 1}{(x-1)^3}$

$\frac{2x^2 - 7x + 1}{(x-1)^3} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{(x-1)^3}$

$2x^2 - 7x + 1 = A(x-1)^2 + B(x-1) + C$

$2x^2 - 7x + 1 = A(x^2-2x+1) + B(x-1) + C$

$2x^2 - 7x + 1 = Ax^2 - 2Ax + A + Bx - B + C$

$A=2$

$-7 = -2A+B$ より $-7 = -4 + B$ より $B = -3$

$1 = A-B+C$ より $1 = 2 - (-3) + C$ より $C = -4$

$\frac{x^3-x^2-4x}{(x-1)^3} = 1 + \frac{2}{x-1} - \frac{3}{(x-1)^2} - \frac{4}{(x-1)^3}$

$\int \frac{x^3-x^2-4x}{(x-1)^3} dx = \int \left( 1 + \frac{2}{x-1} - \frac{3}{(x-1)^2} - \frac{4}{(x-1)^3} \right) dx$

$= x + 2\ln|x-1| - 3\int (x-1)^{-2} dx - 4 \int (x-1)^{-3} dx$

$= x + 2\ln|x-1| - 3 \frac{(x-1)^{-1}}{-1} - 4 \frac{(x-1)^{-2}}{-2} + C$

$= x + 2\ln|x-1| + \frac{3}{x-1} + \frac{2}{(x-1)^2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{4} \ln|x+3| + \frac{3}{4} \ln|x-1| + C$

(2) $\frac{1}{4} \ln\left| \frac{x-1}{x+1} \right| - \frac{1}{2} \arctan(x) + C$

(3) $x + 2\ln|x-1| + \frac{3}{x-1} + \frac{2}{(x-1)^2} + C$