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はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

解析学関数の極値導関数増減表最大値最小値三次関数
2025/7/21
はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。
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1. 問題の内容**

(1) 関数 f(x)=x3−12x−3f(x) = x^3 - 12x - 3 の極値を求めよ。
(2) 関数 f(x)=−x3+3x2+9x−5f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x - 5 の極値を求めよ。
(3) 関数 y=−2x3+3x2+12xy = -2x^3 + 3x^2 + 12x (−2≤x≤4-2 \le x \le 4) の最大値と、その時のxの値を求めよ。
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2. 解き方の手順**

(1) f(x)=x3−12x−3f(x) = x^3 - 12x - 3 の場合：
* 導関数を求める: f′(x)=3x2−12f'(x) = 3x^2 - 12
* f′(x)=0f'(x) = 0 となる xx を求める: 3x2−12=0⇒x2=4⇒x=±23x^2 - 12 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2
* 増減表を作成する。
* x<−2x < -2 のとき, f′(x)>0f'(x) > 0 (例: x=−3x=-3のとき f′(−3)=3(−3)2−12=15>0f'(-3) = 3(-3)^2 - 12 = 15 > 0)
* −2<x<2-2 < x < 2 のとき, f′(x)<0f'(x) < 0 (例: x=0x=0のとき f′(0)=−12<0f'(0) = -12 < 0)
* x>2x > 2 のとき, f′(x)>0f'(x) > 0 (例: x=3x=3のとき f′(3)=3(3)2−12=15>0f'(3) = 3(3)^2 - 12 = 15 > 0)
* 極大値と極小値を求める。
* x=−2x = -2 のとき、極大値 f(−2)=(−2)3−12(−2)−3=−8+24−3=13f(-2) = (-2)^3 - 12(-2) - 3 = -8 + 24 - 3 = 13
* x=2x = 2 のとき、極小値 f(2)=(2)3−12(2)−3=8−24−3=−19f(2) = (2)^3 - 12(2) - 3 = 8 - 24 - 3 = -19
(2) f(x)=−x3+3x2+9x−5f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x - 5 の場合：
* 導関数を求める: f′(x)=−3x2+6x+9f'(x) = -3x^2 + 6x + 9
* f′(x)=0f'(x) = 0 となる xx を求める: −3x2+6x+9=0⇒x2−2x−3=0⇒(x−3)(x+1)=0⇒x=3,−1-3x^2 + 6x + 9 = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 3, -1
* 増減表を作成する。
* x<−1x < -1 のとき, f′(x)<0f'(x) < 0 (例: x=−2x=-2のとき f′(−2)=−3(−2)2+6(−2)+9=−15<0f'(-2) = -3(-2)^2 + 6(-2) + 9 = -15 < 0)
* −1<x<3-1 < x < 3 のとき, f′(x)>0f'(x) > 0 (例: x=0x=0のとき f′(0)=9>0f'(0) = 9 > 0)
* x>3x > 3 のとき, f′(x)<0f'(x) < 0 (例: x=4x=4のとき f′(4)=−3(4)2+6(4)+9=−15<0f'(4) = -3(4)^2 + 6(4) + 9 = -15 < 0)
* 極大値と極小値を求める。
* x=3x = 3 のとき、極大値 f(3)=−(3)3+3(3)2+9(3)−5=−27+27+27−5=22f(3) = -(3)^3 + 3(3)^2 + 9(3) - 5 = -27 + 27 + 27 - 5 = 22
* x=−1x = -1 のとき、極小値 f(−1)=−(−1)3+3(−1)2+9(−1)−5=1+3−9−5=−10f(-1) = -(-1)^3 + 3(-1)^2 + 9(-1) - 5 = 1 + 3 - 9 - 5 = -10
(3) y=−2x3+3x2+12xy = -2x^3 + 3x^2 + 12x (−2≤x≤4-2 \le x \le 4) の場合：
* 導関数を求める: y′=−6x2+6x+12y' = -6x^2 + 6x + 12
* y′=0y' = 0 となる xx を求める: −6x2+6x+12=0⇒x2−x−2=0⇒(x−2)(x+1)=0⇒x=2,−1-6x^2 + 6x + 12 = 0 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 2, -1
* 区間の端点と極値の候補で yy の値を計算する:
* x=−2x = -2 のとき, y=−2(−2)3+3(−2)2+12(−2)=16+12−24=4y = -2(-2)^3 + 3(-2)^2 + 12(-2) = 16 + 12 - 24 = 4
* x=−1x = -1 のとき, y=−2(−1)3+3(−1)2+12(−1)=2+3−12=−7y = -2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 12(-1) = 2 + 3 - 12 = -7
* x=2x = 2 のとき, y=−2(2)3+3(2)2+12(2)=−16+12+24=20y = -2(2)^3 + 3(2)^2 + 12(2) = -16 + 12 + 24 = 20
* x=4x = 4 のとき, y=−2(4)3+3(4)2+12(4)=−128+48+48=−32y = -2(4)^3 + 3(4)^2 + 12(4) = -128 + 48 + 48 = -32
* 最大値を決定する: yy の最大値は 2020 (x=2x = 2 のとき)。
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3. 最終的な答え**

(1)
* 極大値: 13 (x = -2)
* 極小値: -19 (x = 2)
(2)
* 極大値: 22 (x = 3)
* 極小値: -10 (x = -1)
(3)
* 最大値: 20
* (1)のとき x = 2

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