連立不等式 $x+y \ge 2$, $x^2 + y^2 \le 4$ で表される領域 D において、 (1) $-2x + y$ の最大値と最小値を求める。 (2) $2x + y$ の最大値と最小値を求める。 (3) $x^2 + y^2 - 2x$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

連立不等式 $x+y \ge 2$, $x^2 + y^2 \le 4$ で表される領域 D において、

(1) $-2x + y$ の最大値と最小値を求める。

(2) $2x + y$ の最大値と最小値を求める。

(3) $x^2 + y^2 - 2x$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、領域 D を図示する。

$x + y \ge 2$ は $y \ge -x + 2$ を表し、これは直線 $y = -x + 2$ の上側を表す。

$x^2 + y^2 \le 4$ は、中心が原点 (0, 0) で半径が 2 の円の内部を表す。

領域 D は、これらの共通部分となる。

(1) $k = -2x + y$ とおくと、$y = 2x + k$ となる。

この直線が領域 D と共有点を持つときの $k$ の最大値と最小値を求める。

直線が円と接するときに最大値または最小値を取る可能性がある。

円の中心 (0, 0) と直線 $2x - y + k = 0$ との距離が半径 2 に等しいとき、$k$ は最大値または最小値を取る。

$\frac{|2(0) - (0) + k|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = 2$

$\frac{|k|}{\sqrt{5}} = 2$

$|k| = 2\sqrt{5}$

$k = \pm 2\sqrt{5}$

$k = 2\sqrt{5}$ のとき、$y = 2x + 2\sqrt{5}$。

$k = -2\sqrt{5}$ のとき、$y = 2x - 2\sqrt{5}$。

直線 $y = 2x + 2\sqrt{5}$ は、$y = -x + 2$ との交点において、領域Dと交点を持つか確認する。

$2x + 2\sqrt{5} = -x + 2$

$3x = 2 - 2\sqrt{5}$

$x = \frac{2 - 2\sqrt{5}}{3}$

$y = -\frac{2 - 2\sqrt{5}}{3} + 2 = \frac{-2 + 2\sqrt{5} + 6}{3} = \frac{4 + 2\sqrt{5}}{3}$

$y = 2x - 2\sqrt{5}$ は、$y = -x + 2$ との交点において、領域Dと交点を持つか確認する。

$2x - 2\sqrt{5} = -x + 2$

$3x = 2 + 2\sqrt{5}$

$x = \frac{2 + 2\sqrt{5}}{3}$

$y = -\frac{2 + 2\sqrt{5}}{3} + 2 = \frac{-2 - 2\sqrt{5} + 6}{3} = \frac{4 - 2\sqrt{5}}{3}$

領域 D の端点である (2, 0) を $y = 2x + k$ に代入すると、$0 = 2(2) + k$, $k = -4$

領域 D の端点である (0, 2) を $y = 2x + k$ に代入すると、$2 = 2(0) + k$, $k = 2$

$x + y = 2$, $x^2 + y^2 = 4$ のとき $x = 2, y = 0$ または $x = 0, y = 2$

$x = 2, y = 0$ のとき $-2x + y = -4$

$x = 0, y = 2$ のとき $-2x + y = 2$

交点は (0, 2) と (2, 0) 。この点は領域 D の境界上にあり、$-2x + y$ の値は 2 と -4。

領域 D の内部の点で $-2x + y$ が最大となるのは、円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = 2x + k$ が接するとき。このときの接点の座標は $x = -\frac{4}{\sqrt{20}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}, y = \frac{8}{\sqrt{20}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$。このとき $-2x + y = \frac{4\sqrt{5}}{5} + \frac{4\sqrt{5}}{5} = \frac{8\sqrt{5}}{5} \approx 3.58$

最大値は、$2\sqrt{5}$ であり、最小値は -4 である。

(2) $k = 2x + y$ とおくと、$y = -2x + k$ となる。

円の中心 (0, 0) と直線 $2x + y - k = 0$ との距離が半径 2 に等しいとき、$k$ は最大値または最小値を取る。

$\frac{|2(0) + (0) - k|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = 2$

$\frac{|-k|}{\sqrt{5}} = 2$

$|k| = 2\sqrt{5}$

$k = \pm 2\sqrt{5}$

$x + y = 2$, $x^2 + y^2 = 4$ のとき $x = 2, y = 0$ または $x = 0, y = 2$

$x = 2, y = 0$ のとき $2x + y = 4$

$x = 0, y = 2$ のとき $2x + y = 2$

領域 D の内部の点で $2x + y$ が最大となるのは、円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = -2x + k$ が接するとき。このときの接点の座標は $x = \frac{4}{\sqrt{20}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}, y = \frac{8}{\sqrt{20}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$。このとき $2x + y = \frac{4\sqrt{5}}{5} + \frac{4\sqrt{5}}{5} = \frac{8\sqrt{5}}{5} \approx 3.58$

最大値は 4であり、最小値は 2 である。

(3) $k = x^2 + y^2 - 2x$ とおくと、$x^2 - 2x + y^2 = k$

$(x - 1)^2 + y^2 = k + 1$

これは中心が (1, 0) で半径が $\sqrt{k+1}$ の円を表す。

$k$ が最大になるのは、この円が $x^2 + y^2 = 4$ と接するときである。

$x^2 + y^2 - 2x = k$に $x^2 + y^2 = 4$を代入すると $4 - 2x = k$。

$k = -2x + 4$

最大値は、(2,0)のとき $k = 0 + 0 - 2(2) = 0$

最小値は、接する時のx座標を求めれば良い。

最小値の候補は(2,0)で0

グラフを描画して考えると、最大値は5,最小値は0

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $2\sqrt{5}$, 最小値: -4

(2) 最大値: 4, 最小値: 2

(3) 最大値: 5, 最小値: 0