関数 $f(x, y)$ の2変数のマクローリン展開を3次の項まで書き出す。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y)$ の2変数のマクローリン展開を3次の項まで書き出す。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、テイラー展開の中心を原点にしたものです。2変数関数のマクローリン展開の一般式は次のようになります。

$f(x, y) = f(0, 0) + \frac{\partial f}{\partial x}(0, 0)x + \frac{\partial f}{\partial y}(0, 0)y + \frac{1}{2!}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0, 0)x^2 + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0, 0)xy + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(0, 0)y^2\right) + \frac{1}{3!}\left(\frac{\partial^3 f}{\partial x^3}(0, 0)x^3 + 3\frac{\partial^3 f}{\partial x^2 \partial y}(0, 0)x^2y + 3\frac{\partial^3 f}{\partial x \partial y^2}(0, 0)xy^2 + \frac{\partial^3 f}{\partial y^3}(0, 0)y^3\right) + ...$

これを3次の項まで書き出すと、以下のようになります。

$f(x, y) \approx f(0, 0) + f_x(0, 0)x + f_y(0, 0)y + \frac{1}{2}(f_{xx}(0, 0)x^2 + 2f_{xy}(0, 0)xy + f_{yy}(0, 0)y^2) + \frac{1}{6}(f_{xxx}(0, 0)x^3 + 3f_{xxy}(0, 0)x^2y + 3f_{xyy}(0, 0)xy^2 + f_{yyy}(0, 0)y^3)$

ここで、$f_x = \frac{\partial f}{\partial x}$, $f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ などと表記しています。

3. 最終的な答え

$f(x, y) \approx f(0, 0) + f_x(0, 0)x + f_y(0, 0)y + \frac{1}{2}(f_{xx}(0, 0)x^2 + 2f_{xy}(0, 0)xy + f_{yy}(0, 0)y^2) + \frac{1}{6}(f_{xxx}(0, 0)x^3 + 3f_{xxy}(0, 0)x^2y + 3f_{xyy}(0, 0)xy^2 + f_{yyy}(0, 0)y^3)$