不定積分 $\int e^{-x}\sin x \, dx$ を計算し、与えられた選択肢の中から正しいものを選ぶ問題です。

解析学不定積分部分積分指数関数三角関数
2025/7/21

1. 問題の内容

不定積分 exsinxdx\int e^{-x}\sin x \, dx を計算し、与えられた選択肢の中から正しいものを選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

部分積分を2回繰り返して解きます。
まず、u=sinxu = \sin x, dv=exdxdv = e^{-x} dx とおくと、du=cosxdxdu = \cos x \, dx, v=exv = -e^{-x} となります。
よって、
exsinxdx=exsinx(ex)cosxdx=exsinx+excosxdx \int e^{-x} \sin x \, dx = -e^{-x} \sin x - \int (-e^{-x}) \cos x \, dx = -e^{-x} \sin x + \int e^{-x} \cos x \, dx
次に、excosxdx\int e^{-x} \cos x \, dx を計算します。
u=cosxu = \cos x, dv=exdxdv = e^{-x} dx とおくと、du=sinxdxdu = -\sin x \, dx, v=exv = -e^{-x} となります。
excosxdx=excosx(ex)(sinx)dx=excosxexsinxdx \int e^{-x} \cos x \, dx = -e^{-x} \cos x - \int (-e^{-x})(-\sin x) \, dx = -e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x \, dx
したがって、
exsinxdx=exsinxexcosxexsinxdx \int e^{-x} \sin x \, dx = -e^{-x} \sin x - e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x \, dx
2exsinxdx=ex(sinx+cosx) 2 \int e^{-x} \sin x \, dx = -e^{-x} (\sin x + \cos x)
exsinxdx=12ex(sinx+cosx)+C \int e^{-x} \sin x \, dx = -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x) + C

3. 最終的な答え

12ex(sinx+cosx)+C-\frac{1}{2}e^{-x} (\sin x + \cos x) + C
したがって、選択肢1が正しいです。

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