不定積分 $\int e^{-x}\sin x \, dx$ を計算し、与えられた選択肢の中から正しいものを選ぶ問題です。解析学不定積分部分積分指数関数三角関数2025/7/211. 問題の内容不定積分 ∫e−xsinx dx\int e^{-x}\sin x \, dx∫e−xsinxdx を計算し、与えられた選択肢の中から正しいものを選ぶ問題です。2. 解き方の手順部分積分を2回繰り返して解きます。まず、u=sinxu = \sin xu=sinx, dv=e−xdxdv = e^{-x} dxdv=e−xdx とおくと、du=cosx dxdu = \cos x \, dxdu=cosxdx, v=−e−xv = -e^{-x}v=−e−x となります。よって、∫e−xsinx dx=−e−xsinx−∫(−e−x)cosx dx=−e−xsinx+∫e−xcosx dx \int e^{-x} \sin x \, dx = -e^{-x} \sin x - \int (-e^{-x}) \cos x \, dx = -e^{-x} \sin x + \int e^{-x} \cos x \, dx ∫e−xsinxdx=−e−xsinx−∫(−e−x)cosxdx=−e−xsinx+∫e−xcosxdx次に、∫e−xcosx dx\int e^{-x} \cos x \, dx∫e−xcosxdx を計算します。u=cosxu = \cos xu=cosx, dv=e−xdxdv = e^{-x} dxdv=e−xdx とおくと、du=−sinx dxdu = -\sin x \, dxdu=−sinxdx, v=−e−xv = -e^{-x}v=−e−x となります。∫e−xcosx dx=−e−xcosx−∫(−e−x)(−sinx) dx=−e−xcosx−∫e−xsinx dx \int e^{-x} \cos x \, dx = -e^{-x} \cos x - \int (-e^{-x})(-\sin x) \, dx = -e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x \, dx ∫e−xcosxdx=−e−xcosx−∫(−e−x)(−sinx)dx=−e−xcosx−∫e−xsinxdxしたがって、∫e−xsinx dx=−e−xsinx−e−xcosx−∫e−xsinx dx \int e^{-x} \sin x \, dx = -e^{-x} \sin x - e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x \, dx ∫e−xsinxdx=−e−xsinx−e−xcosx−∫e−xsinxdx2∫e−xsinx dx=−e−x(sinx+cosx) 2 \int e^{-x} \sin x \, dx = -e^{-x} (\sin x + \cos x) 2∫e−xsinxdx=−e−x(sinx+cosx)∫e−xsinx dx=−12e−x(sinx+cosx)+C \int e^{-x} \sin x \, dx = -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x) + C ∫e−xsinxdx=−21e−x(sinx+cosx)+C3. 最終的な答え−12e−x(sinx+cosx)+C-\frac{1}{2}e^{-x} (\sin x + \cos x) + C−21e−x(sinx+cosx)+Cしたがって、選択肢1が正しいです。