与えられた16個の積分を計算します。 * i) $\int \frac{1}{x} dx$ * ii) $\int \frac{1}{x^2} dx$ * iii) $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ * iv) $\int 0 dx$ * v) $\int (x - 2x^2) dx$ * vi) $\int \frac{1}{3x} dx$ * vii) $\int (x^3 + 9x - 2)^3 (x^2 + 3) dx$ * viii) $\int \sin(4 - 3x) dx$ * ix) $\int \tan x dx$ * x) $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx$ * xi) $\int \frac{x}{1 + x^2} dx$ * xii) $\int \frac{1}{1+x^2} dx$ * xiii) $\int \sin^5 x dx$ * xiv) $\int \sin^2 x dx$ * xv) $\int \frac{1}{\sin x} dx$ * xvi) $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx$

はい、承知いたしました。積分問題ですね。画像から問題文を読み取り、解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた16個の積分を計算します。

* i) $\int \frac{1}{x} dx$

* ii) $\int \frac{1}{x^2} dx$

* iii) $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$

* iv) $\int 0 dx$

* v) $\int (x - 2x^2) dx$

* vi) $\int \frac{1}{3x} dx$

* vii) $\int (x^3 + 9x - 2)^3 (x^2 + 3) dx$

* viii) $\int \sin(4 - 3x) dx$

* ix) $\int \tan x dx$

* x) $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx$

* xi) $\int \frac{x}{1 + x^2} dx$

* xii) $\int \frac{1}{1+x^2} dx$

* xiii) $\int \sin^5 x dx$

* xiv) $\int \sin^2 x dx$

* xv) $\int \frac{1}{\sin x} dx$

* xvi) $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx$

2. 解き方の手順

それぞれの積分を解いていきます。積分定数 $C$ は省略します。

* i) $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x|$

* ii) $\int \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$

* iii) $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int x^{-1/2} dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{x}$

* iv) $\int 0 dx = 0$

* v) $\int (x - 2x^2) dx = \int x dx - 2\int x^2 dx = \frac{x^2}{2} - 2\frac{x^3}{3} = \frac{x^2}{2} - \frac{2}{3}x^3$

* vi) $\int \frac{1}{3x} dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x} dx = \frac{1}{3} \ln |x|$

* vii) $\int (x^3 + 9x - 2)^3 (x^2 + 3) dx$

$u = x^3 + 9x - 2$ と置換すると, $du = (3x^2 + 9)dx = 3(x^2 + 3)dx$.

よって、$\frac{1}{3} \int u^3 du = \frac{1}{3} \frac{u^4}{4} = \frac{1}{12} (x^3 + 9x - 2)^4$

* viii) $\int \sin(4 - 3x) dx = \frac{1}{3} \cos(4 - 3x)$

($u = 4-3x$とおくと、$du = -3dx$であるから、$-\frac{1}{3}\int \sin(u)du = \frac{1}{3}\cos(u) = \frac{1}{3}\cos(4-3x)$)

* ix) $\int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx = -\ln |\cos x|$

($u = \cos x$とおくと、$du = -\sin x dx$であるから、$-\int \frac{1}{u}du = -\ln |u| = -\ln |\cos x|$)

* x) $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x$

* xi) $\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2)$

($u = 1+x^2$とおくと、$du = 2x dx$であるから、$\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}du = \frac{1}{2}\ln |u| = \frac{1}{2}\ln (1+x^2)$)

* xii) $\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x$

* xiii) $\int \sin^5 x dx = \int \sin x (\sin^2 x)^2 dx = \int \sin x (1 - \cos^2 x)^2 dx$.

$u = \cos x$ と置換すると $du = -\sin x dx$.

$\int -(1 - u^2)^2 du = \int -(1 - 2u^2 + u^4) du = \int (-1 + 2u^2 - u^4) du = -u + \frac{2}{3}u^3 - \frac{1}{5}u^5 = -\cos x + \frac{2}{3}\cos^3 x - \frac{1}{5}\cos^5 x$

* xiv) $\int \sin^2 x dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos 2x) dx = \frac{1}{2}(x - \frac{1}{2} \sin 2x) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4} \sin 2x$

* xv) $\int \frac{1}{\sin x} dx = \int \csc x dx = -\ln|\csc x + \cot x| = \ln|\tan \frac{x}{2}|$

* xvi) $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = \int \csc^2 x dx = -\cot x$

3. 最終的な答え

* i) $\ln |x|$

* ii) $-\frac{1}{x}$

* iii) $2\sqrt{x}$

* iv) $0$

* v) $\frac{x^2}{2} - \frac{2}{3}x^3$

* vi) $\frac{1}{3} \ln |x|$

* vii) $\frac{1}{12} (x^3 + 9x - 2)^4$

* viii) $\frac{1}{3} \cos(4 - 3x)$

* ix) $-\ln |\cos x|$

* x) $\tan x$

* xi) $\frac{1}{2} \ln(1 + x^2)$

* xii) $\arctan x$

* xiii) $-\cos x + \frac{2}{3}\cos^3 x - \frac{1}{5}\cos^5 x$

* xiv) $\frac{1}{2}x - \frac{1}{4} \sin 2x$

* xv) $\ln|\tan \frac{x}{2}|$

* xvi) $-\cot x$