3つの2次関数 $y=x^2+ax+b$ (1), $y=x^2+cx+d$ (2), $y=x^2+ex+f$ (3) が与えられています。これらのグラフの位置関係が図で示されており、(1)と(2)のグラフの軸が同じであることが分かっています。 (1) (i) $a-c$ と $0$, $b-d$ と $0$ の大小関係を不等号または等号で答える。 (ii) $a, c, e$ の符号の組み合わせとして正しいものを選択肢から選ぶ。 (2) (3)のグラフを$x$軸方向に4, $y$軸方向に1だけ平行移動すると、(1)のグラフと重なるとき、$e$と$f$をそれぞれ$a$と$b$を用いて表す。

1. 問題の内容

3つの2次関数 $y=x^2+ax+b$ (1), $y=x^2+cx+d$ (2), $y=x^2+ex+f$ (3) が与えられています。これらのグラフの位置関係が図で示されており、(1)と(2)のグラフの軸が同じであることが分かっています。

(1) (i) $a-c$ と $0$, $b-d$ と $0$ の大小関係を不等号または等号で答える。

(ii) $a, c, e$ の符号の組み合わせとして正しいものを選択肢から選ぶ。

(2) (3)のグラフを$x$軸方向に4, $y$軸方向に1だけ平行移動すると、(1)のグラフと重なるとき、$e$と$f$をそれぞれ$a$と$b$を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) (i)

グラフ(1)と(2)の軸が同じなので、$-\frac{a}{2} = -\frac{c}{2}$。よって、$a=c$ となり、$a-c = 0$。したがって、$a-c$ (ア) $0$ は 2 (=) です。

図から、グラフ(1)はグラフ(2)よりも上に位置しているので、$b > d$ となり、$b-d > 0$。したがって、$b-d$ (イ) $0$ は 3 (>) です。

(ii)

グラフ(1)と(2)は下に凸なので、$x^2$の係数は正です。

グラフ(1)と(2)の軸は$y$軸の左側にあるので、$-\frac{a}{2} < 0$ より $a > 0$、$-\frac{c}{2} < 0$ より $c > 0$。

グラフ(3)の軸は$y$軸の右側にあるので、$-\frac{e}{2} > 0$ より $e < 0$。

したがって、$a, c, e$ の符号は +, +, - であり、選択肢の中でこれは 2 に対応します。

(2)

グラフ(3) $y = x^2+ex+f$ を $x$軸方向に4, $y$軸方向に1だけ平行移動すると、グラフは

$y - 1 = (x-4)^2 + e(x-4) + f$

$y = x^2 -8x + 16 + ex - 4e + f + 1$

$y = x^2 + (e-8)x + 16 - 4e + f + 1$

となります。

これがグラフ(1) $y=x^2+ax+b$ と一致するので、

$e-8 = a$

$16 - 4e + f + 1 = b$

したがって、

$e = a + 8$

$f = b - 17 + 4e = b - 17 + 4(a+8) = b - 17 + 4a + 32 = 4a + b + 15$

よって、$e = a + 8$, $f = 4a + b + 15$ となります。

3. 最終的な答え

(1) (i) (ア) 2, (イ) 3

(ii) 2

(2) $e = a + 8$, $f = 4a + b + 15$