$\theta$ についての方程式 $\cos 2\theta - 2a\cos\theta + 2a + 1 = 0$ ($0 \le \theta \le \pi$) が与えられています。ここで、$a$ は定数です。 (1) 方程式が $\theta = \frac{\pi}{2}$ を解にもつとき、$a$ の値を求めます。 (2) $t = \cos\theta$ とおくとき、$\cos 2\theta$ を $t$ を用いて表します。 (3) 方程式を満たす $\theta$ の値がただ 1 つであるとき、$a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

$\theta$ についての方程式 $\cos 2\theta - 2a\cos\theta + 2a + 1 = 0$ ($0 \le \theta \le \pi$) が与えられています。ここで、$a$ は定数です。

(1) 方程式が $\theta = \frac{\pi}{2}$ を解にもつとき、$a$ の値を求めます。

(2) $t = \cos\theta$ とおくとき、$\cos 2\theta$ を $t$ を用いて表します。

(3) 方程式を満たす $\theta$ の値がただ 1 つであるとき、$a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\theta = \frac{\pi}{2}$ を与えられた方程式に代入します。

$\cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) - 2a\cos(\frac{\pi}{2}) + 2a + 1 = 0$

$\cos(\pi) - 2a \cdot 0 + 2a + 1 = 0$

$-1 + 0 + 2a + 1 = 0$

$2a = 0$

$a = 0$

(2) $\cos 2\theta$ を倍角の公式を用いて $t$ で表します。$\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ なので、$\cos 2\theta = 2t^2 - 1$ となります。

(3) 与えられた方程式 $\cos 2\theta - 2a\cos\theta + 2a + 1 = 0$ に、$\cos 2\theta = 2t^2 - 1$ と $t = \cos\theta$ を代入します。

$2t^2 - 1 - 2at + 2a + 1 = 0$

$2t^2 - 2at + 2a = 0$

$t^2 - at + a = 0$

この $t$ に関する二次方程式を満たす $\theta$ がただ 1 つ存在するためには、以下のいずれかが必要です。

(i) 二次方程式が重解を持ち、その解が $t = \cos\theta$ の範囲 ($-1 \le t \le 1$ ) に含まれる。

(ii) 二次方程式が異なる 2 つの解を持ち、そのうち 1 つだけが $-1 \le t \le 1$ の範囲に含まれる。

二次方程式の判別式 $D = (-a)^2 - 4(1)(a) = a^2 - 4a$ です。

(i) $D = 0$ のとき、$a^2 - 4a = 0$ より $a(a-4) = 0$。よって $a = 0$ または $a = 4$。

$a = 0$ のとき、$t^2 = 0$ より $t = 0$。これは $-1 \le t \le 1$ を満たします。

$a = 4$ のとき、$t^2 - 4t + 4 = 0$ より $(t-2)^2 = 0$。よって $t = 2$。これは $-1 \le t \le 1$ を満たしません。

$a = 0$ のとき、$t = \cos \theta = 0$ より $\theta = \frac{\pi}{2}$ となり、条件を満たします。

(ii) $f(t) = t^2 - at + a$ とおきます。$\theta$ がただ 1 つ存在するためには $f(-1)f(1) < 0$ または $f(-1) = 0$ または $f(1) = 0$で、この時の解が$-1 < t < 1$の範囲に入っている必要があります。

$f(-1) = (-1)^2 - a(-1) + a = 1 + a + a = 2a + 1$

$f(1) = 1^2 - a(1) + a = 1 - a + a = 1$

$f(-1)f(1) = (2a + 1)(1) = 2a + 1 < 0$ より $a < -\frac{1}{2}$

$f(-1) = 2a + 1 = 0$のとき、$a = -\frac{1}{2}$。$t^2 + \frac{1}{2}t - \frac{1}{2} = 0$より $2t^2 + t - 1 = 0$, $(2t - 1)(t+1) = 0$。$t = \frac{1}{2}, -1$。$\theta$ の範囲は $0 \le \theta \le \pi$なので、この条件も満たします。

したがって、 $a \le -\frac{1}{2}, a = 0$

3. 最終的な答え

(1) $a = 0$

(2) $\cos 2\theta = 2t^2 - 1$

(3) $a \le -\frac{1}{2}, a = 0$