3次方程式 $x^3 + 4x^2 + ax + 2a + 8 = 0$ (ここで $a$ は実数) が一つの実数解と二つの純虚数解を持つとき、その実数解と純虚数解を求める。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + 4x^2 + ax + 2a + 8 = 0$ (ここで $a$ は実数) が一つの実数解と二つの純虚数解を持つとき、その実数解と純虚数解を求める。

2. 解き方の手順

3次方程式 $x^3 + 4x^2 + ax + 2a + 8 = 0$ の実数解を $r$、純虚数解を $\pm bi$ （$b$ は実数、$b \ne 0$）とする。

解と係数の関係から、

\begin{align*} \label{eq:1} r + bi + (-bi) &= r = -4 \tag{1} \\ r(bi) + r(-bi) + (bi)(-bi) &= r(bi) - r(bi) + b^2 = a \tag{2} \\ r(bi)(-bi) &= rb^2 = -(2a+8) \tag{3} \end{align*}

(1)より、$r = -4$。

(2)より、$b^2 = a$。

(3)より、$-4b^2 = -2a - 8$ すなわち $4b^2 = 2a + 8$。

$b^2 = a$ を $4b^2 = 2a + 8$ に代入すると、

$4a = 2a + 8$

$2a = 8$

$a = 4$

$b^2 = a = 4$ より $b = \pm 2$。

よって、実数解は $r = -4$ であり、純虚数解は $\pm 2i$ である。

3. 最終的な答え

実数解は $-4$ であり、純虚数解は $2i$ と $-2i$ である。