多項式 $P(x)$ が与えられており、以下の条件を満たします。 * $P(x)$ は $x-1$ で割り切れる。 * $P(x)$ を $x+2$ で割った余りは 9 である。 * $P(x)$ のすべての項の係数は実数である。 (1) $P(1)$ と $P(-2)$ の値を求めます。 (2) $P(x)$ を $x^2 + x - 2$ で割った余りを求めます。 (3) $P(x)$ は 3 次の項の係数が 1 である 3 次式であり、方程式 $P(x) = 0$ が異なる実数解をちょうど 2 個持つとき、$P(x)$ を求めます。

代数学多項式剰余の定理因数定理3次方程式因数分解実数解
2025/7/4

1. 問題の内容

多項式 P(x)P(x) が与えられており、以下の条件を満たします。
* P(x)P(x)x1x-1 で割り切れる。
* P(x)P(x)x+2x+2 で割った余りは 9 である。
* P(x)P(x) のすべての項の係数は実数である。
(1) P(1)P(1)P(2)P(-2) の値を求めます。
(2) P(x)P(x)x2+x2x^2 + x - 2 で割った余りを求めます。
(3) P(x)P(x) は 3 次の項の係数が 1 である 3 次式であり、方程式 P(x)=0P(x) = 0 が異なる実数解をちょうど 2 個持つとき、P(x)P(x) を求めます。

2. 解き方の手順

(1) P(1)P(1)P(2)P(-2) の値を求める。
P(x)P(x)x1x-1 で割り切れるので、P(1)=0P(1) = 0
P(x)P(x)x+2x+2 で割った余りが 9 なので、P(2)=9P(-2) = 9
(2) P(x)P(x)x2+x2x^2 + x - 2 で割った余りを求める。
x2+x2=(x1)(x+2)x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2) なので、P(x)P(x)(x1)(x+2)(x-1)(x+2) で割ることができる。
P(x)=(x2+x2)Q(x)+ax+bP(x) = (x^2 + x - 2)Q(x) + ax + b とおくと、P(1)=0P(1) = 0 より a+b=0a + b = 0
P(2)=9P(-2) = 9 より 2a+b=9-2a + b = 9
この連立方程式を解くと、a=3a = -3b=3b = 3 となる。
したがって、余りは 3x+3-3x + 3
(3) P(x)P(x) を求める。
P(x)P(x) は 3 次の項の係数が 1 である 3 次式なので、P(x)=x3+Ax2+Bx+CP(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C とおける。
P(1)=0P(1) = 0 より、1+A+B+C=01 + A + B + C = 0
P(2)=9P(-2) = 9 より、8+4A2B+C=9-8 + 4A - 2B + C = 9
また、P(x)P(x)(x1)(x-1) を因数に持ち、方程式 P(x)=0P(x) = 0 が異なる実数解をちょうど 2 個持つことから、P(x)=(x1)(xa)2P(x) = (x-1)(x-a)^2 または P(x)=(x1)2(xa)P(x) = (x-1)^2(x-a) (ただし a1a \ne 1) と表せる。
(i) P(x)=(x1)(xa)2P(x) = (x-1)(x-a)^2 の場合:
P(x)=(x1)(x22ax+a2)=x3(2a+1)x2+(a2+2a)xa2P(x) = (x-1)(x^2 - 2ax + a^2) = x^3 - (2a+1)x^2 + (a^2+2a)x - a^2
P(2)=(21)(2a)2=9P(-2) = (-2-1)(-2-a)^2 = 9より、3(a+2)2=9-3(a+2)^2 = 9となる。
よって、(a+2)2=3(a+2)^2 = -3となり、実数解を持たない。したがって、この場合は不適。
(ii) P(x)=(x1)2(xa)P(x) = (x-1)^2(x-a) の場合:
P(x)=(x22x+1)(xa)=x3(a+2)x2+(2a+1)xaP(x) = (x^2 - 2x + 1)(x-a) = x^3 - (a+2)x^2 + (2a+1)x - a
P(2)=(21)2(2a)=9P(-2) = (-2-1)^2(-2-a) = 9より、9(2a)=99(-2-a) = 9となる。
よって、2a=1-2-a = 1より、a=3a = -3
したがって、P(x)=(x1)2(x+3)=(x22x+1)(x+3)=x3+x25x+3P(x) = (x-1)^2(x+3) = (x^2 - 2x + 1)(x+3) = x^3 + x^2 - 5x + 3

3. 最終的な答え

(1) P(1)=0P(1) = 0, P(2)=9P(-2) = 9
(2) 余り: 3x+3-3x + 3
(3) P(x)=x3+x25x+3P(x) = x^3 + x^2 - 5x + 3

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