多項式 $P(x)$ が与えられており、以下の条件を満たします。 * $P(x)$ は $x-1$ で割り切れる。 * $P(x)$ を $x+2$ で割った余りは 9 である。 * $P(x)$ のすべての項の係数は実数である。 (1) $P(1)$ と $P(-2)$ の値を求めます。 (2) $P(x)$ を $x^2 + x - 2$ で割った余りを求めます。 (3) $P(x)$ は 3 次の項の係数が 1 である 3 次式であり、方程式 $P(x) = 0$ が異なる実数解をちょうど 2 個持つとき、$P(x)$ を求めます。
2025/7/4
1. 問題の内容
多項式 が与えられており、以下の条件を満たします。
* は で割り切れる。
* を で割った余りは 9 である。
* のすべての項の係数は実数である。
(1) と の値を求めます。
(2) を で割った余りを求めます。
(3) は 3 次の項の係数が 1 である 3 次式であり、方程式 が異なる実数解をちょうど 2 個持つとき、 を求めます。
2. 解き方の手順
(1) と の値を求める。
は で割り切れるので、。
を で割った余りが 9 なので、。
(2) を で割った余りを求める。
なので、 は で割ることができる。
とおくと、 より 。
より 。
この連立方程式を解くと、、 となる。
したがって、余りは 。
(3) を求める。
は 3 次の項の係数が 1 である 3 次式なので、 とおける。
より、。
より、。
また、 は を因数に持ち、方程式 が異なる実数解をちょうど 2 個持つことから、 または (ただし ) と表せる。
(i) の場合:
より、となる。
よって、となり、実数解を持たない。したがって、この場合は不適。
(ii) の場合:
より、となる。
よって、より、。
したがって、
3. 最終的な答え
(1) ,
(2) 余り:
(3)