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与えられた9個の行列式を、行列式の性質や定義式を用いて計算し、その値を求める。

代数学行列式線形代数行列式の計算
2025/7/4

1. 問題の内容

与えられた9個の行列式を、行列式の性質や定義式を用いて計算し、その値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2x2行列の行列式は ad−bcad-bc で計算できる。
(2) 3x3行列の行列式。第1列を基準に展開することを考える。ただし、第3列が第1列の3倍なので、行列式は0になる。
(3) 第1行の3倍を第2行から引くと、第2行は全て0になるので、行列式は0になる。
(4) 第1列について展開する。
0⋅A11−4⋅A21+3⋅A31−1⋅A410 \cdot A_{11} - 4 \cdot A_{21} + 3 \cdot A_{31} - 1 \cdot A_{41}.
ここで、AijA_{ij} は (i,j)(i,j) 成分に関する余因子。
A21=(−1)2+1∣134401340∣=−(0+9+64−0−4−0)=−69A_{21} = (-1)^{2+1} \left| \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 4 \\ 4 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 0 \end{array} \right| = - (0 + 9 + 64 - 0 - 4 - 0) = -69
A31=(−1)3+1∣134013344∣=4+27+0−12−0−12=7A_{31} = (-1)^{3+1} \left| \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 3 \\ 3 & 4 & 4 \end{array} \right| = 4 + 27 + 0 - 12 - 0 - 12 = 7
A41=(−1)4+1∣134013401∣=−(1+36+0−16−0−0)=−21A_{41} = (-1)^{4+1} \left| \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 3 \\ 4 & 0 & 1 \end{array} \right| = - (1 + 36 + 0 - 16 - 0 - 0) = -21
よって、0−4(−69)+3(7)−1(−21)=276+21+21=3180 - 4(-69) + 3(7) - 1(-21) = 276 + 21 + 21 = 318
(5) 第1行、第2行に0が3つ並んでいるので、第1行について展開すると −3∣053456457∣-3 \left| \begin{array}{ccc} 0 & 5 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 4 & 5 & 7 \end{array} \right|. 更に第1列について展開すると −3[0⋅A11−4⋅A21+4⋅A31]=−3[−4(35−15)+4(25−15)]=−3[−4(20)+4(10)]=−3[−80+40]=−3(−40)=120-3 [ 0 \cdot A_{11} - 4 \cdot A_{21} + 4 \cdot A_{31} ] = -3[ -4 (35 - 15) + 4 (25 - 15) ] = -3[ -4(20) + 4(10)] = -3[-80 + 40] = -3(-40) = 120.
(6) 第1行について展開すると、−2∣−1207−40−312∣=−2⋅2∣−127−4∣=−4(4−14)=−4(−10)=40-2 \left| \begin{array}{ccc} -1 & 2 & 0 \\ 7 & -4 & 0 \\ -3 & 1 & 2 \end{array} \right| = -2 \cdot 2 \left| \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 7 & -4 \end{array} \right| = -4 (4 - 14) = -4(-10) = 40.
(7) 第1行について展開すると、 4∣−300000−2332000402∣4 \left| \begin{array}{cccc} -3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 3 \\ 3 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 2 \end{array} \right|. さらに第1行について展開すると、 4(−3)∣0−23200402∣=−12[−2(0−8)]=−12[16]=−1924 (-3) \left| \begin{array}{ccc} 0 & -2 & 3 \\ 2 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 2 \end{array} \right| = -12 [-2(0-8)] = -12 [16] = -192
(8)
∣101999810110010210297100∣=∣10199980141−22∣=∣10199980141−22∣\left| \begin{array}{ccc} 101 & 99 & 98 \\ 101 & 100 & 102 \\ 102 & 97 & 100 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} 101 & 99 & 98 \\ 0 & 1 & 4 \\ 1 & -2 & 2 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} 101 & 99 & 98 \\ 0 & 1 & 4 \\ 1 & -2 & 2 \end{array} \right|. 第3行から101倍の第1行を引くと
∣1−220141019998∣=−42\left| \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 101 & 99 & 98 \end{array} \right| = -42
(9)
∣1/21/31/41/41/21/31/31/41/2∣\left| \begin{array}{ccc} 1/2 & 1/3 & 1/4 \\ 1/4 & 1/2 & 1/3 \\ 1/3 & 1/4 & 1/2 \end{array} \right|

3. 最終的な答え

(1) -34
(2) 0
(3) 0
(4) 318
(5) 120
(6) 40
(7) -192
(8) -42
(9) 1/288

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