2次不等式 $2x^2 + 7x - 4 \le 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

2次不等式 $2x^2 + 7x - 4 \le 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、2次不等式の左辺を因数分解します。

$2x^2 + 7x - 4 = (2x - 1)(x + 4)$

したがって、与えられた不等式は

$(2x - 1)(x + 4) \le 0$

となります。

次に、$(2x - 1)(x + 4) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$2x - 1 = 0$ より $x = \frac{1}{2}$

$x + 4 = 0$ より $x = -4$

したがって、解は $x = \frac{1}{2}$ および $x = -4$ です。

次に、これらの値を数直線上に配置し、不等式が成り立つ範囲を調べます。

$x < -4$ のとき、$2x - 1 < 0$ かつ $x + 4 < 0$ なので $(2x - 1)(x + 4) > 0$ となり、不等式は成り立ちません。

$-4 < x < \frac{1}{2}$ のとき、$2x - 1 < 0$ かつ $x + 4 > 0$ なので $(2x - 1)(x + 4) < 0$ となり、不等式は成り立ちます。

$x > \frac{1}{2}$ のとき、$2x - 1 > 0$ かつ $x + 4 > 0$ なので $(2x - 1)(x + 4) > 0$ となり、不等式は成り立ちません。

$x = -4$ または $x = \frac{1}{2}$ のとき、$(2x - 1)(x + 4) = 0$ となり、不等式は成り立ちます。

したがって、不等式 $(2x - 1)(x + 4) \le 0$ の解は $-4 \le x \le \frac{1}{2}$ です。

3. 最終的な答え

$-4 \le x \le \frac{1}{2}$