2次方程式 $5x^2 - 3x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $5x^2 - 3x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求める。

2. 解き方の手順

解と係数の関係を利用する。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha\beta = \frac{c}{a}$

である。

今回の問題では、$5x^2 - 3x + 2 = 0$ なので、

$\alpha + \beta = -\frac{-3}{5} = \frac{3}{5}$

$\alpha\beta = \frac{2}{5}$

$\alpha^2 + \beta^2$ を求めるために、$(\alpha + \beta)^2$ を展開する。

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$

したがって、

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

$\alpha + \beta = \frac{3}{5}$ と $\alpha\beta = \frac{2}{5}$ を代入する。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\frac{3}{5})^2 - 2(\frac{2}{5}) = \frac{9}{25} - \frac{4}{5} = \frac{9}{25} - \frac{20}{25} = -\frac{11}{25}$

3. 最終的な答え

$-\frac{11}{25}$