不等式 $\sqrt{2x+1} \leq \frac{1}{2}x + 1$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{2x+1} \leq \frac{1}{2}x + 1$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身が0以上である必要があります。つまり、$2x+1 \geq 0$より、$x \geq -\frac{1}{2}$という条件が必要です。

次に、両辺を2乗することを考えます。

$\sqrt{2x+1} \leq \frac{1}{2}x + 1$

$(\sqrt{2x+1})^2 \leq (\frac{1}{2}x + 1)^2$

$2x+1 \leq \frac{1}{4}x^2 + x + 1$

両辺に4を掛けて

$8x + 4 \leq x^2 + 4x + 4$

$0 \leq x^2 - 4x$

$0 \leq x(x-4)$

これにより、$x \leq 0$ または $x \geq 4$ が得られます。

ここで、$x \geq -\frac{1}{2}$という条件があったことを思い出します。$x \leq 0$ と $x \geq -\frac{1}{2}$ を組み合わせると、$-\frac{1}{2} \leq x \leq 0$ となります。

また、$x \geq 4$ はそのまま条件を満たします。

さらに、$\frac{1}{2}x+1 \geq 0$である必要があり、この条件は$x \geq -2$となります。

$-\frac{1}{2} \leq x \leq 0$ は $x \geq -2$ を満たします。

$x \geq 4$ も $x \geq -2$ を満たします。

したがって、解は $-\frac{1}{2} \leq x \leq 0$ または $x \geq 4$ となります。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2} \leq x \leq 0$ または $x \geq 4$