関数 $f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$ と $g(x) = \frac{x+1}{x-2}$ が与えられている。合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$ と $g(x) = \frac{x+1}{x-2}$ が与えられている。合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ を計算する。

$g(f(x)) = g(\frac{2x+1}{x-1}) = \frac{\frac{2x+1}{x-1} + 1}{\frac{2x+1}{x-1} - 2}$

次に、分母と分子に $(x-1)$ を掛けて整理する。

$g(f(x)) = \frac{(2x+1) + (x-1)}{(2x+1) - 2(x-1)} = \frac{3x}{2x+1-2x+2} = \frac{3x}{3} = x$

次に、$(f \circ g)(x) = f(g(x))$ を計算する。

$f(g(x)) = f(\frac{x+1}{x-2}) = \frac{2(\frac{x+1}{x-2})+1}{\frac{x+1}{x-2}-1}$

次に、分母と分子に $(x-2)$ を掛けて整理する。

$f(g(x)) = \frac{2(x+1) + (x-2)}{(x+1)-(x-2)} = \frac{2x+2+x-2}{x+1-x+2} = \frac{3x}{3} = x$

3. 最終的な答え

$(g \circ f)(x) = x$

$(f \circ g)(x) = x$