関数 $y = \sqrt{2x-6}$ の定義域が $a \leq x \leq b$ であり、その値域が $2 \leq y \leq 4$ となるような定数 $a, b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{2x-6}$ の定義域が $a \leq x \leq b$ であり、その値域が $2 \leq y \leq 4$ となるような定数 $a, b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数の定義域について考えます。ルートの中身は非負である必要があるため、$2x - 6 \geq 0$ を満たす必要があります。これを解くと、$x \geq 3$ となります。

次に、与えられた値域 $2 \leq y \leq 4$ を用いて、$x$ の範囲を求めます。

$y = \sqrt{2x - 6}$ の両辺を2乗すると、$y^2 = 2x - 6$ となります。

これを $x$ について解くと、$x = \frac{y^2 + 6}{2}$ となります。

$y$ の最小値 $2$ を代入すると、$x = \frac{2^2 + 6}{2} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$ となります。

$y$ の最大値 $4$ を代入すると、$x = \frac{4^2 + 6}{2} = \frac{16 + 6}{2} = \frac{22}{2} = 11$ となります。

したがって、$x$ の範囲は $5 \leq x \leq 11$ となります。

問題文より $a \leq x \leq b$ であるので、$a = 5$、$b = 11$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 5$

$b = 11$