$(\sqrt{2} + \sqrt{5})^2 - (\sqrt{2} - \sqrt{5})^2$ を計算します。

1. 問題の内容

$(\sqrt{2} + \sqrt{5})^2 - (\sqrt{2} - \sqrt{5})^2$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの項を展開します。

$(\sqrt{2} + \sqrt{5})^2$ を展開すると、

$(\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{2})(\sqrt{5}) + (\sqrt{5})^2 = 2 + 2\sqrt{10} + 5 = 7 + 2\sqrt{10}$

となります。

次に、$(\sqrt{2} - \sqrt{5})^2$ を展開すると、

$(\sqrt{2})^2 - 2(\sqrt{2})(\sqrt{5}) + (\sqrt{5})^2 = 2 - 2\sqrt{10} + 5 = 7 - 2\sqrt{10}$

となります。

したがって、

$(\sqrt{2} + \sqrt{5})^2 - (\sqrt{2} - \sqrt{5})^2 = (7 + 2\sqrt{10}) - (7 - 2\sqrt{10}) = 7 + 2\sqrt{10} - 7 + 2\sqrt{10} = 4\sqrt{10}$

となります。

または、和と差の積の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用することもできます。

この問題では、$a = (\sqrt{2} + \sqrt{5})$、$b = (\sqrt{2} - \sqrt{5})$ なので、

$(\sqrt{2} + \sqrt{5})^2 - (\sqrt{2} - \sqrt{5})^2 = ((\sqrt{2} + \sqrt{5}) + (\sqrt{2} - \sqrt{5}))((\sqrt{2} + \sqrt{5}) - (\sqrt{2} - \sqrt{5}))$

$= (2\sqrt{2})(2\sqrt{5}) = 4\sqrt{10}$

となります。

3. 最終的な答え

$4\sqrt{10}$