2次関数 $f(x) = x^2 + 2ax + b$ があり、$y=f(x)$ のグラフは点 $(1, 8)$ を通る。ただし、$a, b$ は実数の定数で、$a>0$ とする。 (1) $b$ を $a$ を用いて表せ。 (2) $y=f(x)$ のグラフの頂点が直線 $y=x+1$ 上にあるとき、$a$ の値を求めよ。 (3) (2) のとき、負の定数 $p$ について、$p \le x \le 0$ における関数 $f(x)$ の最大値と最小値の差が $-2p$ となるような $p$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 + 2ax + b$ があり、$y=f(x)$ のグラフは点 $(1, 8)$ を通る。ただし、$a, b$ は実数の定数で、$a>0$ とする。

(1) $b$ を $a$ を用いて表せ。

(2) $y=f(x)$ のグラフの頂点が直線 $y=x+1$ 上にあるとき、$a$ の値を求めよ。

(3) (2) のとき、負の定数 $p$ について、$p \le x \le 0$ における関数 $f(x)$ の最大値と最小値の差が $-2p$ となるような $p$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^2 + 2ax + b$ のグラフが点 $(1, 8)$ を通るので、

$f(1) = 1^2 + 2a(1) + b = 8$

$1 + 2a + b = 8$

$b = 7 - 2a$

(2) $f(x) = x^2 + 2ax + b = x^2 + 2ax + (7 - 2a) = (x+a)^2 - a^2 + 7 - 2a$

よって、頂点の座標は $(-a, -a^2 - 2a + 7)$ である。

頂点が直線 $y = x + 1$ 上にあるので、

$-a^2 - 2a + 7 = -a + 1$

$-a^2 - a + 6 = 0$

$a^2 + a - 6 = 0$

$(a + 3)(a - 2) = 0$

$a = -3, 2$

$a > 0$ より、$a = 2$

(3) (2) より、$a = 2$ なので、$f(x) = x^2 + 4x + 3 = (x+2)^2 - 1$

軸は $x = -2$ であり、定義域は $p \le x \le 0$ である。

$p < x < 0$ なので、頂点は定義域に含まれる。

したがって、$p \le x \le 0$ での最小値は、$f(-2) = -1$

$f(0) = 3$

$f(p) = p^2 + 4p + 3$

軸 $x=-2$ について、$p$ と $0$ の距離を考えると、$p < -2$ なので、$|p-(-2)| > |0-(-2)|$。

よって、$x = p$ で最大値をとる。

最大値は $f(p) = p^2 + 4p + 3$

最大値と最小値の差は

$f(p) - f(-2) = (p^2 + 4p + 3) - (-1) = p^2 + 4p + 4 = (p+2)^2$

これが $-2p$ に等しいので、

$(p+2)^2 = -2p$

$p^2 + 4p + 4 = -2p$

$p^2 + 6p + 4 = 0$

$p = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -3 \pm \sqrt{5}$

$p < 0$ なので、$p = -3 - \sqrt{5}$ または $p = -3 + \sqrt{5}$

$p = -3 + \sqrt{5} \approx -3 + 2.236 = -0.764$ なので、$p = -3 + \sqrt{5}$ は $p \le x \le 0$ を満たす。

$p = -3 - \sqrt{5} \approx -3 - 2.236 = -5.236$ なので、$p = -3 - \sqrt{5}$ も $p \le x \le 0$ を満たす。

しかし、場合分けが必要。

(i) $-2 \le p < 0$ のとき、$x=0$ で最大値をとる。

$f(0)-f(-2) = 3 - (-1) = 4$

$4 = -2p$ より $p = -2$

これは $-2 \le p < 0$ を満たす。

(ii) $p < -2$ のとき、$x=p$ で最大値をとる。

$f(p) - f(-2) = -2p$

$p^2 + 4p + 3 - (-1) = -2p$

$p^2 + 6p + 4 = 0$

$p = -3 \pm \sqrt{5}$

$p < -2$ より、$p = -3 - \sqrt{5}$

よって、$p = -2, -3 - \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $b = 7 - 2a$

(2) $a = 2$

(3) $p = -2, -3 - \sqrt{5}$