次の複素数の計算問題を解きます。 (1) $(2+i) + (3-2i)$ (2) $(2+i)(2-i)$ (3) $\sqrt{-2}\sqrt{-8}$ (4) $\frac{1-\sqrt{-2}}{1+\sqrt{-2}}$

1. 問題の内容

次の複素数の計算問題を解きます。

(1) $(2+i) + (3-2i)$

(2) $(2+i)(2-i)$

(3) $\sqrt{-2}\sqrt{-8}$

(4) $\frac{1-\sqrt{-2}}{1+\sqrt{-2}}$

2. 解き方の手順

(1) $(2+i) + (3-2i)$ の計算

実部と虚部をそれぞれ計算します。

$2+3=5$

$i-2i=-i$

したがって、

$(2+i) + (3-2i) = 5-i$

(2) $(2+i)(2-i)$ の計算

複素数の積の計算を行います。

$(2+i)(2-i) = 2(2) + 2(-i) + i(2) + i(-i) = 4 -2i + 2i - i^2$

$i^2 = -1$ なので、

$4 -2i + 2i - i^2 = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5$

(3) $\sqrt{-2}\sqrt{-8}$ の計算

$\sqrt{-2} = \sqrt{2}i$

$\sqrt{-8} = \sqrt{8}i = 2\sqrt{2}i$

$\sqrt{-2}\sqrt{-8} = (\sqrt{2}i)(2\sqrt{2}i) = 2(\sqrt{2})^2 i^2 = 2(2)(-1) = -4$

(4) $\frac{1-\sqrt{-2}}{1+\sqrt{-2}}$ の計算

分母の共役複素数をかけて分母を実数にします。

$\sqrt{-2} = \sqrt{2}i$ なので、

$\frac{1-\sqrt{-2}}{1+\sqrt{-2}} = \frac{1-\sqrt{2}i}{1+\sqrt{2}i}$

分母の共役複素数は $1-\sqrt{2}i$ です。

$\frac{1-\sqrt{2}i}{1+\sqrt{2}i} \times \frac{1-\sqrt{2}i}{1-\sqrt{2}i} = \frac{(1-\sqrt{2}i)^2}{(1+\sqrt{2}i)(1-\sqrt{2}i)} = \frac{1 - 2\sqrt{2}i + (\sqrt{2}i)^2}{1 - (\sqrt{2}i)^2} = \frac{1 - 2\sqrt{2}i + 2i^2}{1 - 2i^2}$

$i^2 = -1$ なので、

$\frac{1 - 2\sqrt{2}i - 2}{1 + 2} = \frac{-1 - 2\sqrt{2}i}{3} = -\frac{1}{3} - \frac{2\sqrt{2}}{3}i$

3. 最終的な答え

(1) $5-i$

(2) $5$

(3) $-4$

(4) $-\frac{1}{3} - \frac{2\sqrt{2}}{3}i$