2次関数 $y = -2x^2 + 4ax - 6a - 5$ (aは正の実数) の $0 \le x \le 4$ における最大値を $M(a)$、最小値を $m(a)$ とする。 (1) $0 < a \le 4$ のとき $M(a)$ を求めよ。 (2) $4 < a$ のとき $M(a)$ を求めよ。 (3) $0 < a \le 2$ のとき $m(a)$ を求めよ。 (4) $2 < a$ のとき $m(a)$ を求めよ。 (5) $M+m = -28$ となる $a$ を求めよ。ただし、$a$ は小さい順に並べる。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -2x^2 + 4ax - 6a - 5$ (aは正の実数) の $0 \le x \le 4$ における最大値を $M(a)$、最小値を $m(a)$ とする。

(1) $0 < a \le 4$ のとき $M(a)$ を求めよ。

(2) $4 < a$ のとき $M(a)$ を求めよ。

(3) $0 < a \le 2$ のとき $m(a)$ を求めよ。

(4) $2 < a$ のとき $m(a)$ を求めよ。

(5) $M+m = -28$ となる $a$ を求めよ。ただし、$a$ は小さい順に並べる。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = -2(x^2 - 2ax) - 6a - 5$

$y = -2(x - a)^2 + 2a^2 - 6a - 5$

この関数の軸は $x = a$ であり、上に凸な放物線である。

(1) $0 < a \le 4$ のとき、軸 $x=a$ が区間 $0 \le x \le 4$ に含まれるので、最大値は頂点でとる。

$M(a) = 2a^2 - 6a - 5$

(2) $4 < a$ のとき、軸 $x=a$ が区間 $0 \le x \le 4$ の外側にある。区間内で$x=0$のとき最大となる。

$M(a) = -2(0)^2 + 4a(0) - 6a - 5 = -6a - 5$

(3) $0 < a \le 2$ のとき、軸 $x=a$ が区間 $0 \le x \le 4$ に含まれる。最小値は$x=4$のときにとる。

$m(a) = -2(4)^2 + 4a(4) - 6a - 5 = -32 + 16a - 6a - 5 = 10a - 37$

(4) $2 < a$ のとき、軸 $x=a$ が区間 $0 \le x \le 4$ に含まれる。ただし、 $a \le 4$ のとき $x=4$で最小、$a > 4$ のとき $x=0$で最小

$2 < a \le 4$ のとき、最小値は$x=4$のときにとる。

$m(a) = -2(4)^2 + 4a(4) - 6a - 5 = -32 + 16a - 6a - 5 = 10a - 37$

$4 < a$ のとき、最小値は$x=0$のときにとる。

$m(a) = -2(0)^2 + 4a(0) - 6a - 5 = -6a - 5$

$2 < a$ のとき、区間の端点での値を比較する必要がある。

$x=0$のとき $y = -6a - 5$

$x=4$のとき $y = -2(16) + 16a - 6a - 5 = 10a - 37$

$10a - 37 < -6a - 5$

$16a < 32$

$a < 2$

したがって、$2 < a \le 4$ のとき、$m(a) = 10a - 37$

$4 < a$ のとき、$m(a) = -6a - 5$

(5) $M+m = -28$ となる $a$ を求める。

場合1: $0 < a \le 2$ のとき、$M(a) = 2a^2 - 6a - 5$、$m(a) = 10a - 37$

$2a^2 - 6a - 5 + 10a - 37 = -28$

$2a^2 + 4a - 42 = -28$

$2a^2 + 4a - 14 = 0$

$a^2 + 2a - 7 = 0$

$a = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 28}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-2 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{2}$

$a > 0$ より $a = -1 + 2\sqrt{2} \approx 1.83$ (これは $0 < a \le 2$ を満たす)

場合2: $2 < a \le 4$ のとき、$M(a) = 2a^2 - 6a - 5$、$m(a) = 10a - 37$

$2a^2 - 6a - 5 + 10a - 37 = -28$

$2a^2 + 4a - 42 = -28$

$2a^2 + 4a - 14 = 0$

$a^2 + 2a - 7 = 0$

$a = -1 \pm 2\sqrt{2}$

$a > 0$ より $a = -1 + 2\sqrt{2} \approx 1.83$ (これは $2 < a \le 4$ を満たさない)

場合3: $4 < a$ のとき、$M(a) = -6a - 5$、$m(a) = -6a - 5$

$-6a - 5 - 6a - 5 = -28$

$-12a - 10 = -28$

$-12a = -18$

$a = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1.5$ (これは $4 < a$ を満たさない)

場合4: $a=4$のとき、$M(a) = 2(4)^2-6(4)-5 = 32-24-5 = 3$、$m(a) = 10(4)-37 = 40-37 = 3$. $M+m = 6 \neq -28$

場合5: $2<a$のとき、$M(a) = 2a^2 - 6a - 5$, $m(a) = -6a - 5$. $a=4$のとき、$M(a) = 2(4)^2-6(4)-5 = 3$. $m(a) = -6(4)-5 = -29$. $M+m = -26 \neq -28$.

場合6: $4 < a$ のとき、$M(a) = -6a - 5$、$m(a) = 10a - 37$ (間違い！$m(a)=-6a-5$でした。)

しかし，$M(a)$の場合分けが間違っています。$0 < a \le 4$と$4 < a$しか考えていません。

改めて検討します。

$M+m = -28$となる$a$を探します。

$0<a \le 2$のとき、$M(a)=2a^2-6a-5$, $m(a) = 10a-37$。

$2a^2 - 6a - 5 + 10a - 37 = -28$

$2a^2 + 4a - 42 = -28$

$2a^2 + 4a - 14 = 0$

$a^2 + 2a - 7 = 0$

$a = -1 \pm 2\sqrt{2}$

$0 < a \le 2$を満たすのは、$a = -1 + 2\sqrt{2}$

$2<a \le 4$のとき、$M(a)=2a^2-6a-5$, $m(a) = 10a-37$。

これは上と同じなので、$a = -1 + 2\sqrt{2}$

しかし、これは$2<a \le 4$を満たさない。

$a > 4$のとき、$M(a)=-6a-5$, $m(a)=-6a-5$。

$-6a-5-6a-5 = -28$

$-12a - 10 = -28$

$-12a = -18$

$a = \frac{3}{2}$。これは$a>4$を満たさない。

以上より、

$a = -1 + 2\sqrt{2}$。

3. 最終的な答え

(1) 2 a^2 - 6 a - 5

(2) -6 a - 5

(3) 10 a - 37

(4) 10 a - 37

(5) -1+2√2

最終的な答えを埋めると

(1) 2 a^2 - 6 a - 5

(2) -6 a - 5

(3) 10 a - 37

(4) 10 a - 37

(5) -1+2√2

最終的な答え

1. 問題の内容

与えられた2次関数の区間における最大値M(a)と最小値m(a)をaの範囲によって求め、最後にM(a)+m(a)=-28となるaの値を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、2次関数を平方完成する。

$y = -2(x^2 - 2ax) - 6a - 5$

$y = -2(x - a)^2 + 2a^2 - 6a - 5$

軸は $x=a$ であり、上に凸な放物線である。

(1) $0 < a \le 4$ のとき、最大値は $M(a) = 2a^2 - 6a - 5$

(2) $4 < a$ のとき、最大値は $M(a) = -6a - 5$

(3) $0 < a \le 2$ のとき、最小値は $m(a) = 10a - 37$

(4) $2 < a \le 4$ のとき、最小値は $m(a) = 10a - 37$

$a > 4$ のとき、最小値は $m(a) = -6a - 5$

(5) $M+m = -28$

$0 < a \le 2$ のとき、$2a^2 - 6a - 5 + 10a - 37 = -28$

$2a^2 + 4a - 14 = 0$

$a = -1 + 2\sqrt{2}$

$2 < a \le 4$ のとき、$2a^2 - 6a - 5 + 10a - 37 = -28$

$2a^2 + 4a - 14 = 0$

$a = -1 + 2\sqrt{2}$　これは条件を満たさない。

$a > 4$ のとき、 $-6a - 5 + (-6a - 5) = -28$

$-12a - 10 = -28$

$a = \frac{3}{2}$ これは条件を満たさない。

$a= -1+2\sqrt{2} \approx 1.828$

最終的な答え: a = -1+2√2

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 6

ウ: 5

エ: -6

オ: 5

カ: 10

キ: 37

ク: 10

ケ: 37

コ: -1+2√2

サ： なし