数列 $6, 9, 3, 15, -9, \dots$ の一般項を求めよ。この数列の階差数列が等比数列になっている。

1. 問題の内容

数列 $6, 9, 3, 15, -9, \dots$ の一般項を求めよ。この数列の階差数列が等比数列になっている。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列の階差数列を求める。階差数列は $3, -6, 12, -24, \dots$ となり、これは初項3、公比-2の等比数列である。

階差数列の一般項を $b_n$ とすると、

$b_n = 3(-2)^{n-1}$

元の数列の一般項 $a_n$ は、 $a_1 = 6$ であることを用いて、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$a_n = 6 + \sum_{k=1}^{n-1} 3(-2)^{k-1}$

$= 6 + 3\sum_{k=1}^{n-1} (-2)^{k-1}$

等比数列の和の公式より、

$\sum_{k=1}^{n-1} (-2)^{k-1} = \frac{1 - (-2)^{n-1}}{1 - (-2)} = \frac{1 - (-2)^{n-1}}{3}$

$a_n = 6 + 3 \cdot \frac{1 - (-2)^{n-1}}{3} = 6 + 1 - (-2)^{n-1} = 7 - (-2)^{n-1}$

3. 最終的な答え

数列の一般項は $a_n = 7 - (-2)^{n-1}$