与えられた行列の簡約化（階段行列化）を求める問題です。与えられた行列は $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ です。

1. 問題の内容

与えられた行列の簡約化（階段行列化）を求める問題です。与えられた行列は

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

です。

2. 解き方の手順

まず、行基本変形を使って、行列を簡約化します。

ステップ1: 2行目を1行目に足す。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 \to R_2 + R_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & 3 \\ 2 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

ステップ2: 3行目から1行目の2倍を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & 3 \\ 2 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 \to R_3 - 2R_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

ステップ3: 2行目を3で割る。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 \to \frac{1}{3}R_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

ステップ4: 3行目に2行目の2倍を足す。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 \to R_3 + 2R_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & -1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

ステップ5: 4行目から2行目の2倍を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & -1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_4 \to R_4 - 2R_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & -3 \end{pmatrix}$

ステップ6: 3行目を5で割る。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & -3 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 \to \frac{1}{5}R_3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1/5 \\ 0 & 0 & -2 & -3 \end{pmatrix}$

ステップ7: 4行目に3行目の2倍を足す。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1/5 \\ 0 & 0 & -2 & -3 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_4 \to R_4 + 2R_3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1/5 \\ 0 & 0 & 0 & -17/5 \end{pmatrix}$

ステップ8: 4行目を $-5/17$倍する。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1/5 \\ 0 & 0 & 0 & -17/5 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_4 \to -\frac{5}{17}R_4} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1/5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

ステップ9: 3行目に4行目の $1/5$ 倍を足す。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1/5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 \to R_3 + \frac{1}{5}R_4} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

ステップ10: 2行目から4行目を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 \to R_2 - R_4} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

ステップ11: 2行目から3行目を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 \to R_2 - R_3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

ステップ12: 1行目から2行目を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 \to R_1 - R_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$