$\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{6} + \sqrt{3}}$ の分母を有理化する問題です。

1. 問題の内容

$\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{6} + \sqrt{3}}$ の分母を有理化する問題です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な複素数である $\sqrt{6} - \sqrt{3}$ を分母と分子の両方に掛けます。

\begin{align*}

\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{6} + \sqrt{3}} &= \frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{6} - \sqrt{3})}{(\sqrt{6} + \sqrt{3})(\sqrt{6} - \sqrt{3})} \\

&= \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{6} - \sqrt{3}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3})^2} \\

&= \frac{\sqrt{18} - 3 + \sqrt{6} - \sqrt{3}}{6 - 3} \\

&= \frac{\sqrt{9 \cdot 2} - 3 + \sqrt{6} - \sqrt{3}}{3} \\

&= \frac{3\sqrt{2} - 3 + \sqrt{6} - \sqrt{3}}{3} \\

&= \frac{3(\sqrt{2} - 1) + \sqrt{6} - \sqrt{3}}{3} \\

&= \sqrt{2} - 1 + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{3} \\

&= \sqrt{2} - 1 + \frac{\sqrt{3}(\sqrt{2} - 1)}{3} \\

&= \sqrt{2} - 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}(\sqrt{2} - 1) \\

&= (\sqrt{2} - 1)(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) \\

&= (\sqrt{2} - 1)(\frac{3 + \sqrt{3}}{3}) \\

&= \frac{(\sqrt{2} - 1)(3 + \sqrt{3})}{3} \\

&= \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6} - 3 - \sqrt{3}}{3}

\end{align*}

3. 最終的な答え

$\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6} - 3 - \sqrt{3}}{3}$