数列 $\{a_n\}$ が $4, 7, 13, 22, 34, ...$ で与えられているとき、この数列の一般項を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $4, 7, 13, 22, 34, ...$ で与えられているとき、この数列の一般項を求める。

2. 解き方の手順

与えられた数列の階差数列を求める。階差数列は $3, 6, 9, 12, ...$ となる。

この階差数列は、初項 $3$, 公差 $3$ の等差数列である。

したがって、階差数列の一般項 $b_n$ は、

$b_n = 3 + (n-1)3 = 3n$

数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ は、初項 $a_1 = 4$ を用いて、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 4 + \sum_{k=1}^{n-1} 3k$

ここで、$\sum_{k=1}^{n-1} 3k = 3 \sum_{k=1}^{n-1} k = 3 \cdot \frac{(n-1)n}{2}$

したがって、

$a_n = 4 + 3 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 4 + \frac{3}{2}n(n-1) = 4 + \frac{3}{2}n^2 - \frac{3}{2}n = \frac{3}{2}n^2 - \frac{3}{2}n + 4$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{3}{2}n^2 - \frac{3}{2}n + 4$