関数 $f(x) = \frac{3x+2}{x+a}$ について、合成関数 $(f \circ f)(x) = f(x)$ が成り立つような定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{3x+2}{x+a}$ について、合成関数 $(f \circ f)(x) = f(x)$ が成り立つような定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(f(x))$ を計算します。

$f(f(x)) = f\left(\frac{3x+2}{x+a}\right) = \frac{3\left(\frac{3x+2}{x+a}\right)+2}{\frac{3x+2}{x+a}+a}$

次に、分母と分子に $(x+a)$ を掛けて式を整理します。

$f(f(x)) = \frac{3(3x+2)+2(x+a)}{3x+2+a(x+a)} = \frac{9x+6+2x+2a}{3x+2+ax+a^2} = \frac{11x+6+2a}{(3+a)x+2+a^2}$

条件 $(f \circ f)(x) = f(x)$ より、

$\frac{11x+6+2a}{(3+a)x+2+a^2} = \frac{3x+2}{x+a}$

この等式がすべての $x$ について成り立つためには、それぞれの係数の比が等しくなければなりません。つまり、

$\frac{11}{3} = \frac{6+2a}{2} = \frac{3+a}{1} = \frac{2+a^2}{a}$

が成り立ちます。

より簡単な等式 $\frac{11}{3} = \frac{3+a}{1}$ を解きます。

$11 = 3(3+a)$

$11 = 9 + 3a$

$2 = 3a$

$a = \frac{2}{3}$

次に、求まった $a = \frac{2}{3}$ を使って、他の等式も成り立つか確認します。

$\frac{6+2a}{2} = \frac{6+2(\frac{2}{3})}{2} = \frac{6+\frac{4}{3}}{2} = \frac{\frac{22}{3}}{2} = \frac{11}{3}$

$\frac{2+a^2}{a} = \frac{2+(\frac{2}{3})^2}{\frac{2}{3}} = \frac{2+\frac{4}{9}}{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{22}{9}}{\frac{2}{3}} = \frac{22}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{11}{3}$

したがって、$a = \frac{2}{3}$ が条件を満たすことがわかります。

3. 最終的な答え

$a = \frac{2}{3}$