不等式 $\sqrt{x+3} < x+1$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{x+3} < x+1$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身が0以上である必要があるので、

$x+3 \geq 0$

$x \geq -3$

次に、$x+1$ の符号によって場合分けします。

(i) $x+1 < 0$ のとき、つまり $x < -1$ のとき

$\sqrt{x+3} \geq 0$ であるので、$\sqrt{x+3} < x+1$ は成り立ちません。

(ii) $x+1 \geq 0$ のとき、つまり $x \geq -1$ のとき

不等式の両辺を2乗すると、

$x+3 < (x+1)^2$

$x+3 < x^2 + 2x + 1$

$0 < x^2 + x - 2$

$x^2 + x - 2 > 0$

$(x+2)(x-1) > 0$

よって、$x < -2$ または $x > 1$

$x \geq -1$ と $x < -2$ または $x > 1$ と $x \geq -3$を満たす $x$ を求めます。

$x < -2$ は $x \geq -1$ を満たさないので、$x < -2$ は解ではありません。

$x > 1$ は $x \geq -1$ を満たします。また、$x \geq -3$ も満たします。

よって、$x > 1$ が解となります。

3. 最終的な答え

$x > 1$