(1) $x^2 + y^2 = 2$ のとき、$x + y$ の最大値と最小値を求める。 (2) $x > 0$, $y > 0$, $xy = 4$ のとき、$x + y$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

(1) $x^2 + y^2 = 2$ のとき、$x + y$ の最大値と最小値を求める。

(2) $x > 0$, $y > 0$, $xy = 4$ のとき、$x + y$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + y^2 = 2$ のとき、$x + y$ の最大値と最小値を求める。

$x + y = k$ とおくと、$y = k - x$ となる。

これを $x^2 + y^2 = 2$ に代入すると、

$x^2 + (k - x)^2 = 2$

$x^2 + k^2 - 2kx + x^2 = 2$

$2x^2 - 2kx + k^2 - 2 = 0$

この $x$ に関する2次方程式が実数解を持つ条件は、判別式 $D \ge 0$ である。

$D = (-2k)^2 - 4(2)(k^2 - 2) = 4k^2 - 8k^2 + 16 = -4k^2 + 16 \ge 0$

$4k^2 \le 16$

$k^2 \le 4$

$-2 \le k \le 2$

したがって、$-2 \le x + y \le 2$ である。

最大値は $x + y = 2$, 最小値は $x + y = -2$ である。

(2) $x > 0$, $y > 0$, $xy = 4$ のとき、$x + y$ の最小値を求める。

相加相乗平均の関係より、

$\frac{x + y}{2} \ge \sqrt{xy}$

$x + y \ge 2\sqrt{xy}$

$xy = 4$ を代入すると、

$x + y \ge 2\sqrt{4} = 2(2) = 4$

したがって、$x + y$ の最小値は4である。

等号成立は $x = y$ のときであるから、$x = y = 2$ のとき最小値4をとる。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 2, 最小値: -2

(2) 最小値: 4