3次方程式 $x^3 + 4x^2 + ax + 2a + 8 = 0$ (ただし $a$ は実数)が、1つの実数解と2つの純虚数解を持つとき、その実数解と純虚数解を求めよ。ここで、純虚数とは、実部が0の虚数のことである。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + 4x^2 + ax + 2a + 8 = 0$ (ただし $a$ は実数)が、1つの実数解と2つの純虚数解を持つとき、その実数解と純虚数解を求めよ。ここで、純虚数とは、実部が0の虚数のことである。

2. 解き方の手順

まず、実数解を $p$、純虚数解を $\pm qi$ （ただし $p, q$ は実数で、$q \ne 0$）とおく。

すると、解と係数の関係から、次の3つの式が得られる。

(1) $p + qi + (-qi) = p = -4$

(2) $p(qi) + p(-qi) + (qi)(-qi) = -p(qi) - p(qi) + q^2 = q^2 = a$

(3) $p(qi)(-qi) = pq^2 = -2a - 8$

(1)より、$p = -4$ であることがわかる。これを(3)に代入すると、

$-4q^2 = -2a - 8$

$4q^2 = 2a + 8$

$2q^2 = a + 4$

また、(2)より、$q^2 = a$ であるから、これを上記の式に代入すると、

$2a = a + 4$

$a = 4$

よって、$q^2 = a = 4$ であるから、$q = \pm 2$。

したがって、純虚数解は $\pm 2i$ である。

3. 最終的な答え

実数解は $-4$ であり、純虚数解は $2i$ と $-2i$ である。