問題は3つあります。 * 問題11-1: $f(x, y) = x^2y$ と $g(x, y) = (x+y)e^x$ の偏導関数を求める。 * 問題11-2: $z = 2x^2 - y^2$ の $\mathbb{R}^3$ におけるグラフの点 $(1, 1, 1)$ における接平面を求める。 * 問題11-3: $\mathbb{R}^2$ 上の $C^1$ 級関数 $f(x, y)$ と $g(x, y)$ に対して、その積 $F(x, y) = f(x, y)g(x, y)$ が $C^1$ 級になることを示す。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

* 問題11-1: $f(x, y) = x^2y$ と $g(x, y) = (x+y)e^x$ の偏導関数を求める。

* 問題11-2: $z = 2x^2 - y^2$ の $\mathbb{R}^3$ におけるグラフの点 $(1, 1, 1)$ における接平面を求める。

* 問題11-3: $\mathbb{R}^2$ 上の $C^1$ 級関数 $f(x, y)$ と $g(x, y)$ に対して、その積 $F(x, y) = f(x, y)g(x, y)$ が $C^1$ 級になることを示す。

2. 解き方の手順

* 問題11-1:

* $f(x, y) = x^2y$ の偏導関数を求める。

* $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$

* $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2$

* $g(x, y) = (x+y)e^x$ の偏導関数を求める。

* $\frac{\partial g}{\partial x} = e^x + (x+y)e^x = (x+y+1)e^x$

* $\frac{\partial g}{\partial y} = e^x$

* 問題11-2:

* $F(x, y, z) = 2x^2 - y^2 - z = 0$ とおく。

* 偏微分を計算する。

* $\frac{\partial F}{\partial x} = 4x$

* $\frac{\partial F}{\partial y} = -2y$

* $\frac{\partial F}{\partial z} = -1$

* 点 $(1, 1, 1)$ における偏微分の値を計算する。

* $\frac{\partial F}{\partial x}(1, 1, 1) = 4$

* $\frac{\partial F}{\partial y}(1, 1, 1) = -2$

* $\frac{\partial F}{\partial z}(1, 1, 1) = -1$

* 接平面の方程式は、

$4(x - 1) - 2(y - 1) - (z - 1) = 0$

$4x - 4 - 2y + 2 - z + 1 = 0$

$4x - 2y - z - 1 = 0$

$4x - 2y - z = 1$

* 問題11-3:

* $F(x, y) = f(x, y)g(x, y)$ が $C^1$ 級であることを示すには、$F_x$ と $F_y$ が存在し、連続であることを示せばよい。

* 積の微分公式より、

* $\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x}g + f\frac{\partial g}{\partial x}$

* $\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial y}g + f\frac{\partial g}{\partial y}$

* $f$ と $g$ が $C^1$ 級なので、$\frac{\partial f}{\partial x}$, $\frac{\partial f}{\partial y}$, $\frac{\partial g}{\partial x}$, $\frac{\partial g}{\partial y}$ は存在し、連続である。

* したがって、$F_x$ と $F_y$ は、連続な関数の和と積で表されるため、連続である。

* よって、$F(x, y)$ は $C^1$ 級である。

3. 最終的な答え

* 問題11-1:

* $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$, $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2$

* $\frac{\partial g}{\partial x} = (x+y+1)e^x$, $\frac{\partial g}{\partial y} = e^x$

* 問題11-2:

$4x - 2y - z = 1$

* 問題11-3:

$F(x, y) = f(x, y)g(x, y)$ は $C^1$ 級である。(証明は上記の通り)