$0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$, $0 \le z \le 1$ で定まる立方体 $V$ を考える。実数 $t$ が $1 < t < 2$ を動くとき、平面 $H_t : x + y + z = t$ による $V$ の切り口の面積を $S(t)$ とする。 (1) $S(t)$ を $t$ で表せ。 (2) $S(t)$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$, $0 \le z \le 1$ で定まる立方体 $V$ を考える。実数 $t$ が $1 < t < 2$ を動くとき、平面 $H_t : x + y + z = t$ による $V$ の切り口の面積を $S(t)$ とする。

(1) $S(t)$ を $t$ で表せ。

(2) $S(t)$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$1 < t < 2$ のとき、$H_t$ は立方体 $V$ のいくつかの頂点を通る。

$V$ の頂点は $(0,0,0)$, $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$, $(1,1,0)$, $(1,0,1)$, $(0,1,1)$, $(1,1,1)$ である。

$x+y+z=t$ にこれらの頂点の座標を代入すると、

$(0,0,0) \Rightarrow 0 = t$

$(1,0,0) \Rightarrow 1 = t$

$(0,1,0) \Rightarrow 1 = t$

$(0,0,1) \Rightarrow 1 = t$

$(1,1,0) \Rightarrow 2 = t$

$(1,0,1) \Rightarrow 2 = t$

$(0,1,1) \Rightarrow 2 = t$

$(1,1,1) \Rightarrow 3 = t$

となる。

$1 < t < 2$ のとき、平面 $H_t$ は頂点 $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$ の近くを通る。

$H_t$ と立方体 $V$ の交わりは三角形になる。

$H_t$ と立方体 $V$ の交わりは、$x=0, y=0, z=0, x=1, y=1, z=1$ で囲まれた領域となる。

$x=0$ のとき、 $y+z=t$

$y=0$ のとき、 $x+z=t$

$z=0$ のとき、 $x+y=t$

$x=1$ のとき、 $y+z=t-1$

$y=1$ のとき、 $x+z=t-1$

$z=1$ のとき、 $x+y=t-1$

$1 < t < 2$ のとき、$t-1 > 0$ である。

$H_t$ は $(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$ に近い点を切り落とす。

この三角形の面積を計算する。

$x+y+z=t$ は、$x=1, y=1, z=1$ で囲まれた領域を切り落とす。

$H_t$ と立方体 $V$ の交わりは正六角形になる。

正六角形の面積は正三角形の面積から3つの正三角形を引いたものである。

$1 < t \le \frac{3}{2}$ のとき、$S(t) = \frac{\sqrt{3}}{2}(t-1)^2$

$\frac{3}{2} < t < 2$ のとき、$S(t) = \frac{\sqrt{3}}{2}- \frac{\sqrt{3}}{2}(2-t)^2$

$S(t) = \frac{\sqrt{3}}{2} (-(t-2)^2 + 1)$

$S(t) = \frac{\sqrt{3}}{2}(1 - (2-t)^2) = \frac{\sqrt{3}}{2}(1 - (t^2-4t+4)) = \frac{\sqrt{3}}{2}(-t^2+4t-3)$

$\frac{3}{2} < t < 2$ のとき、$S(t) = \frac{\sqrt{3}}{2}(-t^2+4t-3)$

$1 < t < 2$ では平面と立方体の交わりは正三角形であるから、

$S(t) = \frac{\sqrt{3}}{2} (t-1)^2$。

$S'(t) = \sqrt{3}(t-1) > 0$

よって、$S(t)$ は増加関数である。

$S(t)$ が最大となるのは $t=2$ のときである。

$S(2) = \frac{\sqrt{3}}{2} (2-1)^2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2)

$S(t) = \frac{\sqrt{3}}{2}(t-1)^2$ のとき、$1 < t \le \frac{3}{2}$

$S(t) = \frac{\sqrt{3}}{2}(-t^2+4t-3)$ のとき、$\frac{3}{2} < t < 2$

$S'(t) = \frac{\sqrt{3}}{2}(-2t+4)$

$S'(t) = 0$ となるのは $t=2$ のときである。

$t=2$ は範囲外なので、$t=\frac{3}{2}$ のときを調べる。

$S(3/2) = \frac{\sqrt{3}}{2} (3/2-1)^2 = \frac{\sqrt{3}}{2} (1/2)^2 = \frac{\sqrt{3}}{8}$

$S(3/2) = \frac{\sqrt{3}}{2} (-9/4+6-3) = \frac{\sqrt{3}}{2} (3/4) = \frac{3\sqrt{3}}{8}$

$S'(t) = \sqrt{3}(t-1)$

$S(3/2) = \frac{3\sqrt{3}}{8}$

$x+y+z=t$

$t=1$ のとき面積は

0. $t=2$ のとき正六角形.

$t=\frac{3}{2}$ のとき $x+y+z=\frac{3}{2}$

$\frac{3\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $1 < t \le 3/2$ のとき、$S(t) = \frac{\sqrt{3}}{2} (t-1)^2$

$3/2 < t < 2$ のとき、$S(t) = \frac{\sqrt{3}}{2}(-t^2+4t-3)$

(2) $S(t)$ の最大値は $\frac{3\sqrt{3}}{8}$ ( $t=\frac{3}{2}$ のとき )