三角形ABCにおいて、$AC = \sqrt{2}$, $AB = \sqrt{3}$, $\angle A = 105^\circ$ のとき、三角形ABCの面積を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AC = \sqrt{2}$, $AB = \sqrt{3}$, $\angle A = 105^\circ$ のとき、三角形ABCの面積を求める。

2. 解き方の手順

三角形の面積は、2辺とその間の角のsinの値を使って計算できます。

三角形ABCの面積Sは、以下の式で求められます。

$S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin A$

与えられた値を代入すると、

$S = \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times \sqrt{2} \times \sin 105^\circ$

ここで、$\sin 105^\circ$ の値を求める必要があります。$105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$ なので、sinの加法定理を利用します。

$\sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ$

$= \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}$

$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

$= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

したがって、$\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

面積Sは、

$S = \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$= \frac{\sqrt{6}}{2} \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$= \frac{6 + \sqrt{12}}{8}$

$= \frac{6 + 2\sqrt{3}}{8}$

$= \frac{3 + \sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3 + \sqrt{3}}{4}$