円Oに内接する三角形ABCがあり、AB=15, AC=9。ABは円Oの直径である。角BACの二等分線と辺BCの交点をD、角BACの二等分線と円Oとの交点のうちAでない方をEとする。2直線AC, BEの交点をFとし、2直線OD, BFの交点をGとする。 (1) 角ACBの大きさを求める。 (2) 辺BCの長さを求める。 (3) 線分BDの長さを求める。 (4) 線分ADの長さを求める。 (5) 線分DEの長さを求める。 (6) BG:GEを求める。

1. 問題の内容

円Oに内接する三角形ABCがあり、AB=15, AC=9。ABは円Oの直径である。角BACの二等分線と辺BCの交点をD、角BACの二等分線と円Oとの交点のうちAでない方をEとする。2直線AC, BEの交点をFとし、2直線OD, BFの交点をGとする。

(1) 角ACBの大きさを求める。

(2) 辺BCの長さを求める。

(3) 線分BDの長さを求める。

(4) 線分ADの長さを求める。

(5) 線分DEの長さを求める。

(6) BG:GEを求める。

2. 解き方の手順

(1) ABが円の直径なので、円周角の定理より、$\angle ACB = 90^\circ$

(2) $\triangle ABC$は直角三角形なので、三平方の定理より、$BC^2 + AC^2 = AB^2$。

$BC^2 + 9^2 = 15^2$

$BC^2 = 225 - 81 = 144$

$BC = 12$

(3) 角の二等分線の定理より、$BD:DC = AB:AC = 15:9 = 5:3$。

$BC = 12$なので、$BD = \frac{5}{5+3} \times 12 = \frac{5}{8} \times 12 = \frac{60}{8} = \frac{15}{2}$

(4) $\triangle ADC$は直角三角形なので、三平方の定理より、$AD^2 + DC^2 = AC^2$。

$DC = BC - BD = 12 - \frac{15}{2} = \frac{24-15}{2} = \frac{9}{2}$。

$AD^2 + (\frac{9}{2})^2 = 9^2$

$AD^2 = 81 - \frac{81}{4} = \frac{324 - 81}{4} = \frac{243}{4}$

$AD = \sqrt{\frac{243}{4}} = \frac{\sqrt{81 \times 3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$

(5) $\angle BAE = \angle CAE$ より、弧BE=弧CE。よって、$BE=CE$

$\triangle ABE$において、AEは$\angle BAC$の二等分線だから、$\angle BAE = \angle EAC$。

弧BEに対する円周角と弧CEに対する円周角は等しいから、$\angle BAE = \angle BCE$。

$\triangle ABD$と$\triangle AED$において、$BA = CA$であり、$\angle BAE = \angle BCE$なので、$\triangle ABD \sim \triangle AED$。

円周角の定理より、$\angle EBC = \angle EAC$なので、$\angle EBC = \angle BAE$。

したがって、$\triangle BDE$は二等辺三角形であり、$BD = DE$。

ゆえに、$DE = BD = \frac{15}{2}$

(6) メネラウスの定理より、$\triangle BCE$と直線AFにおいて、

$\frac{CF}{FA} \times \frac{AG}{GE} \times \frac{EB}{BC} = 1$

メネラウスの定理より、$\triangle ABF$と直線CEにおいて、

$\frac{BC}{CF} \times \frac{FE}{EA} \times \frac{AG}{GB} = 1$

$\triangle ABF$に直線CEを適用すると、$\frac{AC}{CF} \times \frac{FE}{EB} \times \frac{BG}{GA}=1$

$\frac{9}{CF} \times \frac{FE}{EB} \times \frac{BG}{GA} = 1$

角の二等分線の性質より、$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$なので、$\frac{BD}{DC}=\frac{15}{9}=\frac{5}{3}$.

$BD=\frac{5}{8}BC$, $DC=\frac{3}{8}BC$

$BC=12$より、$BD=\frac{5}{8}(12)=\frac{15}{2}$、$DC=\frac{3}{8}(12)=\frac{9}{2}$。

方べきの定理より、$BD \times DC = AD \times DE$が成り立つ。

したがって、$DE = \frac{BD \times DC}{AD} = \frac{(\frac{15}{2})(\frac{9}{2})}{\frac{9\sqrt{3}}{2}} = \frac{15 \times 9}{4} \times \frac{2}{9\sqrt{3}} = \frac{15}{2\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$。

メネラウスの定理を$\triangle BCF$と直線AEに適用すると、

$\frac{BA}{AF} \times \frac{FE}{EC} \times \frac{CD}{DB} = 1$

$\frac{15}{AF} \times \frac{FE}{EC} \times \frac{9/2}{15/2} = 1$

$\frac{15}{AF} \times \frac{FE}{EC} \times \frac{3}{5} = 1$

$\frac{FE}{EC} = \frac{AF}{9}$

DEの長さの値がおかしいので、(6)は解けません。

3. 最終的な答え

(1) 90度

(2) 12

(3) 15/2

(4) $\frac{9\sqrt{3}}{2}$

(5) $\frac{5\sqrt{3}}{2}$

(6) 解けません