図のような円Oに内接する三角形ABCがあり、AB = 15, AC = 9である。ABは円Oの直径である。∠BACの二等分線と辺BCの交点をDとし、∠BACの二等分線と円Oとの交点のうちAでない方をEとする。さらに、2直線AC, BEの交点をFとし、2直線OD, BFの交点をGとする。このとき、以下の問題を解く。 (3) 線分BDの長さを求めよ。 (6) BG:GEを求めよ。

1. 問題の内容

図のような円Oに内接する三角形ABCがあり、AB = 15, AC = 9である。ABは円Oの直径である。∠BACの二等分線と辺BCの交点をDとし、∠BACの二等分線と円Oとの交点のうちAでない方をEとする。さらに、2直線AC, BEの交点をFとし、2直線OD, BFの交点をGとする。このとき、以下の問題を解く。

(3) 線分BDの長さを求めよ。

(6) BG:GEを求めよ。

2. 解き方の手順

(3) 線分BDの長さを求める。

まず、$\triangle ABC$は$AB$を斜辺とする直角三角形であるから、三平方の定理より、

$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12$.

また、$AD$は$\angle BAC$の二等分線であるから、角の二等分線の性質より、

$BD:DC = AB:AC = 15:9 = 5:3$.

したがって、$BD = \frac{5}{5+3} BC = \frac{5}{8} \times 12 = \frac{60}{8} = \frac{15}{2} = 7.5$.

(6) BG:GEを求める。

$\triangle BCF$に直線$ADO$が交わっているので、メネラウスの定理より、

$\frac{BA}{AF} \times \frac{FC}{CE} \times \frac{EG}{GB} = 1$.

ここで、$\angle BAE = \angle CAE$より、$BE$は$\angle ABC$の二等分線であるから、$CE = BC = 12$.

$\frac{BG}{GE} = \frac{BA}{AF} \cdot \frac{FC}{CE}$.

また、$BE$は$\angle ABC$の二等分線であるから、

$\frac{AF}{CF} = \frac{AE}{CE} = \frac{AE}{BC}$.

$\frac{FC}{AF} = \frac{BC}{AE} = \frac{12}{AE}$.

$\frac{BG}{GE} = \frac{BA}{AC + CF} \times \frac{AC + CF}{CE} = \frac{BA}{AC + AF + CF} \frac{FC}{CE}$

$\frac{BG}{GE} = \frac{FB}{BE}$.

$BE$を求める。$\triangle ABE$で、$AE = CE = 12$, $\angle EAB = \alpha, AB = 15$.

$BE^2 = AE^2 + AB^2 - 2 AE AB \cos \alpha$.

しかし、この方針では解けないので、別の方法を探す。

$\triangle BCE$において、直線$AD$と$BF$の交点を$G$とする。

メネラウスの定理は使えなさそう。

チェバの定理を用いると、$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CF}{FA} \cdot \frac{AE}{EB} = 1$.

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$.

$\frac{CF}{FA} = \frac{3}{5} \cdot \frac{EB}{AE}$.

$\frac{BG}{GE}$を求める。

3. 最終的な答え

(3) $BD = 7.5$

(6) 回答不能