一辺の長さが3の正四面体OABCがある。辺OC上にOD = 1となる点Dを、辺OB上にOE = 3/4となる点Eをとる。 (1) △ABCの外接円の半径を求めよ。また、点Oから平面ABCに垂線を引き、平面ABCとの交点をHとする。線分OHの長さを求めよ。 (2) 四面体OAEDの体積を求めよ。 (3) cos∠AEDの値を求めよ。また、点Oから平面AEDに引いた垂線の長さを求めよ。

はい、承知いたしました。問題文を読み、解答を作成します。

1. 問題の内容

一辺の長さが3の正四面体OABCがある。辺OC上にOD = 1となる点Dを、辺OB上にOE = 3/4となる点Eをとる。

(1) △ABCの外接円の半径を求めよ。また、点Oから平面ABCに垂線を引き、平面ABCとの交点をHとする。線分OHの長さを求めよ。

(2) 四面体OAEDの体積を求めよ。

(3) cos∠AEDの値を求めよ。また、点Oから平面AEDに引いた垂線の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) △ABCは一辺の長さが3の正三角形である。外接円の半径Rは、正弦定理より、

$2R = \frac{3}{\sin{60^\circ}} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$

よって、$R = \sqrt{3}$

正四面体OABCにおいて、頂点Oから底面ABCに下ろした垂線の足Hは、△ABCの重心に一致する。

正三角形ABCの重心と頂点Aの距離は、外接円の半径に等しいから、AH = $\sqrt{3}$。

OA = 3なので、直角三角形OAHにおいて、

$OH = \sqrt{OA^2 - AH^2} = \sqrt{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9-3} = \sqrt{6}$

(2) 四面体OAEDの体積Vを求める。

四面体OABCの体積は、底面積が$\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \cdot \sin{60^\circ} = \frac{9\sqrt{3}}{4}$、高さが$\sqrt{6}$なので、

$\frac{1}{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{6} = \frac{3\sqrt{18}}{4} = \frac{9\sqrt{2}}{4}$

四面体OAEDの体積は、四面体OABCの体積をOD/OC * OE/OBで割ればよい。

OD/OC = 1/3, OE/OB = 3/4なので、

$V = \frac{9\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9\sqrt{2}}{16}$

(3) $\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}, \vec{OC} = \vec{c}$とおく。

$\vec{OE} = \frac{3}{4}\vec{b}, \vec{OD} = \frac{1}{3}\vec{c}$

$\vec{AE} = \vec{OE} - \vec{OA} = \frac{3}{4}\vec{b} - \vec{a}$

$\vec{AD} = \vec{OD} - \vec{OA} = \frac{1}{3}\vec{c} - \vec{a}$

$|\vec{AE}|^2 = (\frac{3}{4})^2|\vec{b}|^2 - 2\cdot\frac{3}{4}\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{a}|^2 = \frac{9}{16}\cdot 9 - \frac{3}{2} \cdot 9\cdot\frac{1}{2} + 9 = \frac{81}{16} - \frac{27}{4} + 9 = \frac{81-108+144}{16} = \frac{117}{16}$

$|\vec{AD}|^2 = (\frac{1}{3})^2|\vec{c}|^2 - 2\cdot\frac{1}{3}\vec{a}\cdot\vec{c} + |\vec{a}|^2 = \frac{1}{9}\cdot 9 - \frac{2}{3} \cdot 9\cdot\frac{1}{2} + 9 = 1 - 3 + 9 = 7$

$\vec{AE}\cdot\vec{AD} = (\frac{3}{4}\vec{b} - \vec{a})\cdot(\frac{1}{3}\vec{c} - \vec{a}) = \frac{1}{4}\vec{b}\cdot\vec{c} - \frac{3}{4}\vec{a}\cdot\vec{b} - \frac{1}{3}\vec{a}\cdot\vec{c} + |\vec{a}|^2 = \frac{1}{4}\cdot 9\cdot\frac{1}{2} - \frac{3}{4}\cdot 9\cdot\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\cdot 9\cdot\frac{1}{2} + 9 = \frac{9}{8} - \frac{27}{8} - \frac{3}{2} + 9 = \frac{9-27-12+72}{8} = \frac{42}{8} = \frac{21}{4}$

$\cos{\angle AED} = \frac{\vec{AE}\cdot\vec{AD}}{|\vec{AE}||\vec{AD}|} = \frac{\frac{21}{4}}{\sqrt{\frac{117}{16}}\sqrt{7}} = \frac{\frac{21}{4}}{\frac{\sqrt{117\cdot 7}}{4}} = \frac{21}{\sqrt{819}} = \frac{21}{\sqrt{9\cdot 91}} = \frac{21}{3\sqrt{91}} = \frac{7}{\sqrt{91}} = \frac{7\sqrt{91}}{91} = \frac{\sqrt{91}}{13}$

Oから平面AEDに引いた垂線の長さをhとする。

四面体OAEDの体積Vは、△AEDを底面としたときの高さhを用いて、

$V = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2}|\vec{AE}||\vec{AD}|\sin{\angle AED}) \cdot h$

$\sin^2{\angle AED} = 1 - \cos^2{\angle AED} = 1 - \frac{49}{91} = \frac{42}{91} = \frac{6}{13}$

$\sin{\angle AED} = \sqrt{\frac{6}{13}}$

$V = \frac{1}{6} |\vec{AE}||\vec{AD}| \sin{\angle AED} h = \frac{1}{6} \sqrt{\frac{117}{16}} \sqrt{7} \sqrt{\frac{6}{13}} h = \frac{1}{6} \sqrt{\frac{9\cdot 13}{16}} \sqrt{7} \sqrt{\frac{6}{13}} h = \frac{1}{6} \frac{3}{4} \sqrt{13} \sqrt{7} \sqrt{\frac{6}{13}} h = \frac{1}{8}\sqrt{42} h$

$\frac{9\sqrt{2}}{16} = \frac{1}{8}\sqrt{42} h$

$h = \frac{9\sqrt{2}}{16} \cdot 8 / \sqrt{42} = \frac{9\sqrt{2}}{2\sqrt{42}} = \frac{9\sqrt{84}}{84} = \frac{9\sqrt{4\cdot 21}}{84} = \frac{18\sqrt{21}}{84} = \frac{3\sqrt{21}}{14}$

3. 最終的な答え

(1) △ABCの外接円の半径: $\sqrt{3}$、線分OHの長さ: $\sqrt{6}$

(2) 四面体OAEDの体積: $\frac{9\sqrt{2}}{16}$

(3) cos∠AED: $\frac{\sqrt{91}}{13}$、点Oから平面AEDに引いた垂線の長さ: $\frac{3\sqrt{21}}{14}$