問題は、円Oに内接する三角形ABCに関する幾何の問題です。ABは円Oの直径で、AB = 15, AC = 9です。∠BACの二等分線と辺BCの交点をD、∠BACの二等分線と円Oとの交点のうちAでない方をEとします。さらに、2直線AC, BEの交点をFとし、2直線OD, BFの交点をGとするとき、以下の問いに答えます。 (1) ∠ACBの大きさを求めよ。 (2) 辺BCの長さを求めよ。 (3) 線分BDの長さを求めよ。 (4) 線分ADの長さを求めよ。 (5) 線分DEの長さを求めよ。 (6) BG : GEを求めよ。

1. 問題の内容

問題は、円Oに内接する三角形ABCに関する幾何の問題です。ABは円Oの直径で、AB = 15, AC = 9です。∠BACの二等分線と辺BCの交点をD、∠BACの二等分線と円Oとの交点のうちAでない方をEとします。さらに、2直線AC, BEの交点をFとし、2直線OD, BFの交点をGとするとき、以下の問いに答えます。

(1) ∠ACBの大きさを求めよ。

(2) 辺BCの長さを求めよ。

(3) 線分BDの長さを求めよ。

(4) 線分ADの長さを求めよ。

(5) 線分DEの長さを求めよ。

(6) BG : GEを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ∠ACBの大きさについて

ABが円の直径なので、円周角の定理より、∠ACB = 90°

(2) 辺BCの長さについて

△ABCは直角三角形なので、ピタゴラスの定理より、

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$15^2 = 9^2 + BC^2$

$225 = 81 + BC^2$

$BC^2 = 144$

$BC = 12$

(3) 線分BDの長さについて

角の二等分線の定理より、

$BD : DC = AB : AC = 15 : 9 = 5 : 3$

$BD = \frac{5}{5+3} BC = \frac{5}{8} \times 12 = \frac{15}{2} = 7.5$

(4) 線分ADの長さについて

△ABCにおいて、ADは∠BACの二等分線なので、

$AD^2 = AB \times AC - BD \times DC$

$DC = BC - BD = 12 - 7.5 = 4.5$

$AD^2 = 15 \times 9 - 7.5 \times 4.5 = 135 - 33.75 = 101.25$

$AD = \sqrt{101.25} = \sqrt{\frac{405}{4}} = \frac{9\sqrt{5}}{2}$

(5) 線分DEの長さについて

方べきの定理より、

$BD \times DC = AD \times DE$

$7.5 \times 4.5 = \frac{9\sqrt{5}}{2} \times DE$

$DE = \frac{7.5 \times 4.5 \times 2}{9\sqrt{5}} = \frac{7.5 \times 4.5 \times 2}{9\sqrt{5}} = \frac{15 \times 4.5}{9\sqrt{5}} = \frac{15 \times 0.5}{\sqrt{5}} = \frac{7.5}{\sqrt{5}} = \frac{7.5\sqrt{5}}{5} = 1.5\sqrt{5} = \frac{3\sqrt{5}}{2}$

(6) BG : GEを求めよ。

メネラウスの定理より、△BCEと直線AFにおいて

$\frac{CF}{FA} \times \frac{AE}{EB} \times \frac{BG}{GC} = 1$

$\frac{BG}{GE} = \frac{BF}{FE}$

3. 最終的な答え

(1) ∠ACB = 90°

(2) BC = 12

(3) BD = 7.5

(4) AD = $\frac{9\sqrt{5}}{2}$

(5) DE = $\frac{3\sqrt{5}}{2}$

(6) BG:GE については解法が不明です。