座標空間内に4点A(1, 1, 1), B(2, 1, 4), C(3, 2, 2), D(2, 7, 1)がある。点Dから平面ABCに下ろした垂線の足をHとする。 (1) ベクトル$\overrightarrow{AB}$とベクトル$\overrightarrow{AC}$の両方に垂直なベクトルを1つ求める。 (2) 点Hの座標を求める。

1. 問題の内容

座標空間内に4点A(1, 1, 1), B(2, 1, 4), C(3, 2, 2), D(2, 7, 1)がある。点Dから平面ABCに下ろした垂線の足をHとする。

(1) ベクトル$\overrightarrow{AB}$とベクトル$\overrightarrow{AC}$の両方に垂直なベクトルを1つ求める。

(2) 点Hの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$に垂直なベクトルは、$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$の外積によって求められる。

まず、$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$を計算する。

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2-1 \\ 1-1 \\ 4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 2-1 \\ 2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

次に、$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$の外積を計算する。

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(1) - (3)(1) \\ (3)(2) - (1)(1) \\ (1)(1) - (0)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}$

したがって、$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$に垂直なベクトルの一つは、$\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}$である。

(2) 点Hは平面ABC上の点なので、$\overrightarrow{AH} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$と表せる。

また、$\overrightarrow{DH}$は平面ABCに垂直なので、$\overrightarrow{DH} = k\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}$と表せる。

$\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OA}$より、$\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{OH} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + s + 2t \\ 1 + t \\ 1 + 3s + t \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OD}$より、$\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OD} + k\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{OH} = \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} + k\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 3k \\ 7 + 5k \\ 1 + k \end{pmatrix}$

2つの$\overrightarrow{OH}$の表現を比較すると、次の連立方程式が得られる。

$1 + s + 2t = 2 - 3k$

$1 + t = 7 + 5k$

$1 + 3s + t = 1 + k$

これを解く。2番目の式より、$t = 6 + 5k$

3番目の式より、$3s + t = k$, よって $3s = k - t = k - (6 + 5k) = -6 - 4k$, よって $s = -2 - \frac{4}{3}k$

1番目の式に代入すると、$1 + (-2 - \frac{4}{3}k) + 2(6 + 5k) = 2 - 3k$

$1 - 2 - \frac{4}{3}k + 12 + 10k = 2 - 3k$

$11 + \frac{26}{3}k = 2 - 3k$

$\frac{35}{3}k = -9$

$k = -\frac{27}{35}$

$t = 6 + 5(-\frac{27}{35}) = 6 - \frac{27}{7} = \frac{42 - 27}{7} = \frac{15}{7}$

$s = -2 - \frac{4}{3}(-\frac{27}{35}) = -2 + \frac{36}{35} = \frac{-70 + 36}{35} = -\frac{34}{35}$

$\overrightarrow{OH} = \begin{pmatrix} 2 - 3(-\frac{27}{35}) \\ 7 + 5(-\frac{27}{35}) \\ 1 + (-\frac{27}{35}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + \frac{81}{35} \\ 7 - \frac{27}{7} \\ 1 - \frac{27}{35} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{70 + 81}{35} \\ \frac{49 - 27}{7} \\ \frac{35 - 27}{35} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{151}{35} \\ \frac{22}{7} \\ \frac{8}{35} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}$

(2) Hの座標は$(\frac{151}{35}, \frac{22}{7}, \frac{8}{35})$