平面上に3点O, A, Bがあり、$|\overrightarrow{OA}| = 3\sqrt{3}$, $|\overrightarrow{OB}| = 4$, $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 18$ を満たす。 (1) 三角形OABの面積を求めよ。 (2) 線分ABの長さを求めよ。 (3) 平面上の点Pが$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$, $s \ge 0$, $t \ge 0$, $3s + 2t \le 1$ を満たしながら動くとき、点Pの存在範囲の面積を求めよ。 (4) 平面上の点Qが$\overrightarrow{AQ} \cdot \overrightarrow{BQ} \le 0$ を満たしながら動くとき、点Qの存在範囲の面積を求めよ。

1. 問題の内容

平面上に3点O, A, Bがあり、$|\overrightarrow{OA}| = 3\sqrt{3}$, $|\overrightarrow{OB}| = 4$, $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 18$ を満たす。

(1) 三角形OABの面積を求めよ。

(2) 線分ABの長さを求めよ。

(3) 平面上の点Pが$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$, $s \ge 0$, $t \ge 0$, $3s + 2t \le 1$ を満たしながら動くとき、点Pの存在範囲の面積を求めよ。

(4) 平面上の点Qが$\overrightarrow{AQ} \cdot \overrightarrow{BQ} \le 0$ を満たしながら動くとき、点Qの存在範囲の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 三角形OABの面積を求める。

三角形OABの面積は、$\frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\sin\theta$で表される。

ここで、$\theta$は$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$のなす角である。

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = |\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\cos\theta$なので、$\cos\theta = \frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|} = \frac{18}{3\sqrt{3} \times 4} = \frac{18}{12\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、$\theta = \frac{\pi}{6}$

三角形OABの面積は、$\frac{1}{2} \times 3\sqrt{3} \times 4 \times \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{3} \times 4 \times \frac{1}{2} = 3\sqrt{3}$

(2) 線分ABの長さを求める。

$|\overrightarrow{AB}|^2 = |\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}|^2 = |\overrightarrow{OB}|^2 - 2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + |\overrightarrow{OA}|^2$

$|\overrightarrow{AB}|^2 = 4^2 - 2 \times 18 + (3\sqrt{3})^2 = 16 - 36 + 27 = 7$

したがって、$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{7}$

(3) 点Pの存在範囲の面積を求める。

$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$, $s \ge 0$, $t \ge 0$, $3s + 2t \le 1$

$3s + 2t = 1$となる直線を考える。

$s = \frac{S}{1/3}, t = \frac{T}{1/2}$とおくと、$S + T = 1$となる。$S \ge 0, T \ge 0$.

したがって、$\overrightarrow{OP} = \frac{S}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{T}{2}\overrightarrow{OB}$。つまり、$P$は、$A' = \frac{1}{3}OA$, $B' = \frac{1}{2}OB$というベクトルが張る三角形。

点Pの存在範囲の面積は、$\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}|\overrightarrow{OA}| \times \frac{1}{2}|\overrightarrow{OB}| \sin\theta = \frac{1}{12} |\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}| \sin\theta = \frac{1}{12} (3\sqrt{3}) (4) \frac{1}{2} = \frac{1}{12} (12\sqrt{3}) \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(4) 点Qの存在範囲の面積を求める。

$\overrightarrow{AQ} \cdot \overrightarrow{BQ} \le 0$

$(\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OA}) \cdot (\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OB}) \le 0$

$|\overrightarrow{OQ}|^2 - \overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} \le 0$

$|\overrightarrow{OQ}|^2 - \overrightarrow{OQ} \cdot (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) + \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} \le 0$

$\overrightarrow{OQ} - \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2} = \overrightarrow{OX}$とおくと、

$|\overrightarrow{OX}|^2 \le |\frac{\overrightarrow{AB}}{2}|^2$。つまり、$Q$は$AB$の中点を中心とする、半径$AB/2$の円である。

よって、Qの存在範囲の面積は、$\pi (\frac{|\overrightarrow{AB}|}{2})^2 = \pi (\frac{\sqrt{7}}{2})^2 = \frac{7\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $3\sqrt{3}$

(2) $\sqrt{7}$

(3) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

(4) $\frac{7\pi}{4}$