$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:2$ に内分する点を $M$、辺 $OB$ を $3:1$ に内分する点を $N$ とする。線分 $AN$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とする。$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$ とするとき、以下の問いに答えよ。 (1) $BP:PM = s:(1-s)$ とするとき、$\vec{OP}$ を $s$ と $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。 (2) $AP:PN = t:(1-t)$ とするとき、$\vec{OP}$ を $t$ と $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。 (3) $\vec{OP}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:2$ に内分する点を $M$、辺 $OB$ を $3:1$ に内分する点を $N$ とする。線分 $AN$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とする。$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$ とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) $BP:PM = s:(1-s)$ とするとき、$\vec{OP}$ を $s$ と $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。

(2) $AP:PN = t:(1-t)$ とするとき、$\vec{OP}$ を $t$ と $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。

(3) $\vec{OP}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) $BP:PM = s:(1-s)$ より、$\vec{OP} = (1-s)\vec{OB} + s\vec{OM}$ と表せる。

$\vec{OM} = \frac{3}{5}\vec{a}$ であるから、

$\vec{OP} = (1-s)\vec{b} + s\left(\frac{3}{5}\vec{a}\right) = \frac{3s}{5}\vec{a} + (1-s)\vec{b}$

(2) $AP:PN = t:(1-t)$ より、$\vec{OP} = (1-t)\vec{OA} + t\vec{ON}$ と表せる。

$\vec{ON} = \frac{3}{4}\vec{b}$ であるから、

$\vec{OP} = (1-t)\vec{a} + t\left(\frac{3}{4}\vec{b}\right) = (1-t)\vec{a} + \frac{3t}{4}\vec{b}$

(3) (1)と(2)の結果より、

$\vec{OP} = \frac{3s}{5}\vec{a} + (1-s)\vec{b}$

$\vec{OP} = (1-t)\vec{a} + \frac{3t}{4}\vec{b}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、

$\frac{3s}{5} = 1-t$

$1-s = \frac{3t}{4}$

これらの連立方程式を解く。

$3s = 5(1-t) = 5 - 5t$ より、 $s = \frac{5-5t}{3}$

$1 - \frac{5-5t}{3} = \frac{3t}{4}$

$3 - (5 - 5t) = \frac{9t}{4}$

$-2 + 5t = \frac{9t}{4}$

$-8 + 20t = 9t$

$11t = 8$ より、 $t = \frac{8}{11}$

したがって、

$s = \frac{5 - 5(\frac{8}{11})}{3} = \frac{5(1 - \frac{8}{11})}{3} = \frac{5(\frac{3}{11})}{3} = \frac{5}{11}$

$\vec{OP} = (1-t)\vec{a} + \frac{3t}{4}\vec{b} = \left(1-\frac{8}{11}\right)\vec{a} + \frac{3}{4}\left(\frac{8}{11}\right)\vec{b} = \frac{3}{11}\vec{a} + \frac{6}{11}\vec{b}$

$\vec{OP} = \frac{3s}{5}\vec{a} + (1-s)\vec{b} = \frac{3(\frac{5}{11})}{5}\vec{a} + \left(1-\frac{5}{11}\right)\vec{b} = \frac{3}{11}\vec{a} + \frac{6}{11}\vec{b}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OP} = \frac{3s}{5}\vec{a} + (1-s)\vec{b}$

(2) $\vec{OP} = (1-t)\vec{a} + \frac{3t}{4}\vec{b}$

(3) $\vec{OP} = \frac{3}{11}\vec{a} + \frac{6}{11}\vec{b}$