底面の半径が2、高さが5の直円柱を、底面の直径ABを含み、底面と60°の角をなす平面で切断したときにできる、小さい方の立体の体積Vを求めよ。ただし、底面の中心を原点Oとし、直線ABをx軸とする。また、x軸に垂直で、x軸と座標xで交わる平面で立体を切ったときの断面積をS(x)とする。

1. 問題の内容

底面の半径が2、高さが5の直円柱を、底面の直径ABを含み、底面と60°の角をなす平面で切断したときにできる、小さい方の立体の体積Vを求めよ。ただし、底面の中心を原点Oとし、直線ABをx軸とする。また、x軸に垂直で、x軸と座標xで交わる平面で立体を切ったときの断面積をS(x)とする。

2. 解き方の手順

まず、断面積S(x)を求める。

x軸に垂直な平面で切断したときの断面は長方形となる。長方形の横の長さは、半径2の円をx軸に垂直な直線で切った時の線分の長さなので、$2\sqrt{4-x^2}$となる。

長方形の縦の長さは、底面と60°の角をなす平面によって決まる。この長さは$x$の関数として表され、$y = \tan(60^\circ) (2+x) = \sqrt{3} (2+x)$となる。

したがって、断面積S(x)は以下のようになる。

$S(x) = 2\sqrt{4-x^2} \times \sqrt{3}(2+x) = \sqrt{3}(2+x) \sqrt{4-x^2}$

$S(x) = \sqrt{3} (2+x) \sqrt{(2-x)(2+x)}$

$S(x) = 2\sqrt{3} \sqrt{4-x^2} + \sqrt{3} x \sqrt{4-x^2}$

求める体積Vは、S(x)をxの範囲-2から2まで積分することで得られる。

$V = \int_{-2}^{2} S(x) dx = \int_{-2}^{2} \sqrt{3} (2+x) \sqrt{4-x^2} dx$

$V = \sqrt{3} \int_{-2}^{2} (2\sqrt{4-x^2} + x\sqrt{4-x^2}) dx$

$V = 2\sqrt{3} \int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^2} dx + \sqrt{3} \int_{-2}^{2} x\sqrt{4-x^2} dx$

ここで、$\int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^2} dx$は半径2の半円の面積なので、$\frac{1}{2} \pi (2^2) = 2\pi$となる。

また、$\int_{-2}^{2} x\sqrt{4-x^2} dx$は奇関数の積分なので0となる。

したがって、

$V = 2\sqrt{3} (2\pi) + \sqrt{3} (0) = 4\sqrt{3}\pi$

3. 最終的な答え

$V = 4\sqrt{3}\pi$