直線 $l: y = x + 1$ があり、$l$ 上の $y$ 座標が 3 である点を通り、切片が 4 である直線 $m$ がある。 (1) 直線 $m$ の式を求めよ。 (2) 2 直線 $l$ と $m$ と $y$ 軸で囲まれた三角形の面積を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $l: y = x + 1$ があり、$l$ 上の $y$ 座標が 3 である点を通り、切片が 4 である直線 $m$ がある。

(1) 直線 $m$ の式を求めよ。

(2) 2 直線 $l$ と $m$ と $y$ 軸で囲まれた三角形の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $m$ の式を求める。

まず、$l$ 上の $y$ 座標が 3 である点の $x$ 座標を求める。

$y = x + 1$ に $y = 3$ を代入すると、$3 = x + 1$ より $x = 2$。

したがって、$l$ 上の $y$ 座標が 3 である点は $(2, 3)$。

直線 $m$ は点 $(2, 3)$ を通り、切片が 4 であるので、$y = ax + 4$ と表せる。

この式に $(2, 3)$ を代入すると、$3 = 2a + 4$ より $2a = -1$ なので $a = -\frac{1}{2}$。

したがって、直線 $m$ の式は $y = -\frac{1}{2}x + 4$。

(2) 2 直線 $l$ と $m$ と $y$ 軸で囲まれた三角形の面積を求める。

直線 $l$ と $y$ 軸の交点は $(0, 1)$。

直線 $m$ と $y$ 軸の交点は $(0, 4)$。

2 直線 $l$ と $m$ の交点を求める。

$y = x + 1$ と $y = -\frac{1}{2}x + 4$ を連立して解く。

$x + 1 = -\frac{1}{2}x + 4$

$2x + 2 = -x + 8$

$3x = 6$

$x = 2$

$y = 2 + 1 = 3$

交点は $(2, 3)$。

三角形の底辺は $y$ 軸上の $1$ から $4$ の区間なので、$4 - 1 = 3$。

三角形の高さは交点の $x$ 座標なので、$2$。

三角形の面積は $\frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3$。

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{1}{2}x + 4$

(2) 3