問題は、三角形ABCにおいて、頂点Aから辺BCに下ろした垂線の足をHとするとき、線分AHの長さを求める問題です。図には余弦定理と、垂線に関するヒントが記載されています。

1. 問題の内容

問題は、三角形ABCにおいて、頂点Aから辺BCに下ろした垂線の足をHとするとき、線分AHの長さを求める問題です。図には余弦定理と、垂線に関するヒントが記載されています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた情報から、BHとCHの長さを計算します。

$BH = c \cos B$

$CH = a - c \cos B$

次に、三角形ABHと三角形ACHは直角三角形なので、三平方の定理を利用します。

三角形ABHにおいて、

$AH^2 + BH^2 = c^2$

$AH^2 + (c \cos B)^2 = c^2$

$AH^2 = c^2 - c^2 \cos^2 B$

三角形ACHにおいて、

$AH^2 + CH^2 = b^2$

$AH^2 + (a - c \cos B)^2 = b^2$

$AH^2 = b^2 - (a - c \cos B)^2$

上記2つの式から$AH^2$を消去して、$AH$を求めることを考えます。

$c^2 - c^2 \cos^2 B = b^2 - (a - c \cos B)^2$

$c^2 - c^2 \cos^2 B = b^2 - (a^2 - 2ac \cos B + c^2 \cos^2 B)$

$c^2 - c^2 \cos^2 B = b^2 - a^2 + 2ac \cos B - c^2 \cos^2 B$

$c^2 = b^2 - a^2 + 2ac \cos B$

$2ac \cos B = a^2 + c^2 - b^2$

$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

これを$AH^2 = c^2 - c^2 \cos^2 B$に代入します。

$AH^2 = c^2 - c^2 (\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac})^2$

$AH^2 = c^2 - c^2 \frac{(a^2 + c^2 - b^2)^2}{4a^2c^2}$

$AH^2 = c^2 - \frac{(a^2 + c^2 - b^2)^2}{4a^2}$

$AH^2 = \frac{4a^2c^2 - (a^2 + c^2 - b^2)^2}{4a^2}$

$AH = \sqrt{\frac{4a^2c^2 - (a^2 + c^2 - b^2)^2}{4a^2}}$

$AH = \frac{\sqrt{4a^2c^2 - (a^2 + c^2 - b^2)^2}}{2a}$

3. 最終的な答え

$AH = \frac{\sqrt{4a^2c^2 - (a^2 + c^2 - b^2)^2}}{2a}$