直線 $y = 2x + 5$ が円 $x^2 + y^2 = 16$ によって切り取られる線分の長さを求め、その線分の中点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $y = 2x + 5$ が円 $x^2 + y^2 = 16$ によって切り取られる線分の長さを求め、その線分の中点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

ステップ1: 直線と円の交点を求める

直線 $y = 2x + 5$ を円の方程式 $x^2 + y^2 = 16$ に代入する。

$x^2 + (2x + 5)^2 = 16$

$x^2 + 4x^2 + 20x + 25 = 16$

$5x^2 + 20x + 9 = 0$

ステップ2: 交点の $x$ 座標を求める

2次方程式 $5x^2 + 20x + 9 = 0$ を解く。解の公式を用いる。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{-20 \pm \sqrt{20^2 - 4(5)(9)}}{2(5)}$

$x = \frac{-20 \pm \sqrt{400 - 180}}{10}$

$x = \frac{-20 \pm \sqrt{220}}{10}$

$x = \frac{-20 \pm 2\sqrt{55}}{10}$

$x = -2 \pm \frac{\sqrt{55}}{5}$

$x_1 = -2 + \frac{\sqrt{55}}{5}$, $x_2 = -2 - \frac{\sqrt{55}}{5}$

ステップ3: 交点の $y$ 座標を求める

$y = 2x + 5$ に $x_1$ と $x_2$ を代入して、$y_1$ と $y_2$ を求める。

$y_1 = 2(-2 + \frac{\sqrt{55}}{5}) + 5 = -4 + \frac{2\sqrt{55}}{5} + 5 = 1 + \frac{2\sqrt{55}}{5}$

$y_2 = 2(-2 - \frac{\sqrt{55}}{5}) + 5 = -4 - \frac{2\sqrt{55}}{5} + 5 = 1 - \frac{2\sqrt{55}}{5}$

したがって、交点の座標は $(\frac{-10+\sqrt{55}}{5}, \frac{5+2\sqrt{55}}{5})$ と $(\frac{-10-\sqrt{55}}{5}, \frac{5-2\sqrt{55}}{5})$

ステップ4: 線分の長さを求める

2点間の距離の公式 $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ を用いる。

$d = \sqrt{(\frac{-10-\sqrt{55}}{5} - \frac{-10+\sqrt{55}}{5})^2 + (\frac{5-2\sqrt{55}}{5} - \frac{5+2\sqrt{55}}{5})^2}$

$d = \sqrt{(\frac{-2\sqrt{55}}{5})^2 + (\frac{-4\sqrt{55}}{5})^2}$

$d = \sqrt{\frac{4(55)}{25} + \frac{16(55)}{25}}$

$d = \sqrt{\frac{20(55)}{25}} = \sqrt{\frac{4(55)}{5}} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}$

ステップ5: 線分の中点の座標を求める

中点の座標は $(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$ で与えられる。

$x_m = \frac{\frac{-10+\sqrt{55}}{5} + \frac{-10-\sqrt{55}}{5}}{2} = \frac{\frac{-20}{5}}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$y_m = \frac{\frac{5+2\sqrt{55}}{5} + \frac{5-2\sqrt{55}}{5}}{2} = \frac{\frac{10}{5}}{2} = \frac{2}{2} = 1$

したがって、中点の座標は $(-2, 1)$

3. 最終的な答え

線分の長さ: $2\sqrt{11}$

線分の中点の座標: $(-2, 1)$