(1) 点 $(2,4)$ を通り、直線 $2x+3y-6=0$ に平行な直線と垂直な直線の方程式を求めよ。 (2) 方程式 $x^2+y^2+4x-6y+4=0$ で示される円の中心と半径を求めよ。 (3) 点 $(1,1)$, $(2,-1)$, $(3,2)$ を通る円の方程式を求めよ。 (4) $\alpha$ が鋭角で、 $\tan\alpha=2$ のとき、 $\cos\alpha$ および $\sin\alpha$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 点 $(2,4)$ を通り、直線 $2x+3y-6=0$ に平行な直線と垂直な直線の方程式を求めよ。

(2) 方程式 $x^2+y^2+4x-6y+4=0$ で示される円の中心と半径を求めよ。

(3) 点 $(1,1)$, $(2,-1)$, $(3,2)$ を通る円の方程式を求めよ。

(4) $\alpha$ が鋭角で、 $\tan\alpha=2$ のとき、 $\cos\alpha$ および $\sin\alpha$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた直線の式を $y$ について解きます。

$2x+3y-6=0$ より、 $3y = -2x + 6$ なので、$y = -\frac{2}{3}x + 2$ です。

平行な直線の傾きは同じなので、求める直線の傾きは $-\frac{2}{3}$ です。点 $(2,4)$ を通るので、$y = -\frac{2}{3}x + n$ に $x=2, y=4$ を代入して $n$ を求めます。

$4 = -\frac{2}{3}(2) + n$ より $4 = -\frac{4}{3} + n$ なので $n = 4 + \frac{4}{3} = \frac{16}{3}$ です。

したがって、平行な直線の方程式は $y = -\frac{2}{3}x + \frac{16}{3}$ 、つまり $2x + 3y - 16 = 0$ です。

垂直な直線の傾きを $m$ とすると、 $(-\frac{2}{3})m = -1$ より $m = \frac{3}{2}$ です。点 $(2,4)$ を通るので、$y = \frac{3}{2}x + n$ に $x=2, y=4$ を代入して $n$ を求めます。

$4 = \frac{3}{2}(2) + n$ より $4 = 3 + n$ なので $n = 1$ です。

したがって、垂直な直線の方程式は $y = \frac{3}{2}x + 1$ 、つまり $3x - 2y + 2 = 0$ です。

(2)

$x^2+y^2+4x-6y+4=0$ を平方完成します。

$(x^2+4x) + (y^2-6y) + 4 = 0$

$(x^2+4x+4) - 4 + (y^2-6y+9) - 9 + 4 = 0$

$(x+2)^2 + (y-3)^2 - 9 = 0$

$(x+2)^2 + (y-3)^2 = 9 = 3^2$

したがって、円の中心は $(-2,3)$ であり、半径は $3$ です。

(3)

求める円の方程式を $x^2+y^2+ax+by+c=0$ とします。

点 $(1,1)$ を通るので、$1+1+a+b+c=0$ より $a+b+c=-2$ です。

点 $(2,-1)$ を通るので、$4+1+2a-b+c=0$ より $2a-b+c=-5$ です。

点 $(3,2)$ を通るので、$9+4+3a+2b+c=0$ より $3a+2b+c=-13$ です。

これらの3つの式から $a, b, c$ を求めます。

$2a-b+c = -5$ から $a+b+c=-2$ を引くと $a-2b=-3$ 。

$3a+2b+c = -13$ から $a+b+c=-2$ を引くと $2a+b=-11$ 。

$a-2b=-3$ より $a=2b-3$。これを $2a+b=-11$ に代入すると、$2(2b-3)+b=-11$ より $4b-6+b=-11$ なので $5b=-5$ 、したがって $b=-1$ です。

$a=2b-3$ より $a=2(-1)-3=-5$ です。

$a+b+c=-2$ より $-5-1+c=-2$ なので $c=4$ です。

したがって、求める円の方程式は $x^2+y^2-5x-y+4=0$ です。

(4)

$\alpha$ が鋭角なので、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ です。

$\tan\alpha = 2$ なので、$\tan^2\alpha = 4$ です。

$\frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + \tan^2\alpha$ なので、$\frac{1}{\cos^2\alpha} = 1+4 = 5$ です。

$\cos^2\alpha = \frac{1}{5}$ なので、$\cos\alpha = \pm\frac{1}{\sqrt{5}}$ です。$\alpha$ が鋭角なので、$\cos\alpha > 0$ です。したがって、$\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ です。

$\sin\alpha = \tan\alpha \cos\alpha = 2(\frac{1}{\sqrt{5}}) = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ です。

3. 最終的な答え

(1) 平行な直線：$2x + 3y - 16 = 0$ 、垂直な直線：$3x - 2y + 2 = 0$

(2) 円の中心：$(-2,3)$ 、半径：$3$

(3) 円の方程式：$x^2+y^2-5x-y+4=0$

(4) $\cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$ 、$\sin\alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}$