四角形ABCDはひし形、四角形AEFDは正方形である。$\angle ABC = 48^\circ$のとき、$\angle CFE$の大きさを求める。

1. 問題の内容

四角形ABCDはひし形、四角形AEFDは正方形である。$\angle ABC = 48^\circ$のとき、$\angle CFE$の大きさを求める。

2. 解き方の手順

まず、ひし形ABCDの性質から、$\angle ADC = \angle ABC = 48^\circ$である。

次に、正方形AEFDの性質から、$\angle ADE = 90^\circ$である。

したがって、$\angle CDE = \angle ADE - \angle ADC = 90^\circ - 48^\circ = 42^\circ$となる。

ひし形ABCDの性質より、$AD=CD$。また正方形AEFDの性質より、$AD=DE$。

よって、$CD=DE$が成り立つため、$\triangle CDE$は二等辺三角形である。

$\triangle CDE$において、$CD=DE$なので、$\angle DCE = \angle DEC$である。

また、$\angle CDE = 42^\circ$であるから、

$\angle DCE = \angle DEC = \frac{180^\circ - 42^\circ}{2} = \frac{138^\circ}{2} = 69^\circ$となる。

$\angle ADC = 48^\circ$なので、$\angle BCD = 180^\circ - 48^\circ = 132^\circ$

したがって、$\angle BCD = \angle BCE + \angle DCE$より、$\angle BCE = \angle BCD - \angle DCE = 132^\circ - 69^\circ = 63^\circ$

正方形AEFDの性質から、$AE=AD$。ひし形ABCDの性質から、$AB=AD$。したがって、$AE=AB$

よって、$\triangle ABE$は二等辺三角形である。

$\angle ABE = 48^\circ$なので、$\angle BEA = \angle BAE = \frac{180^\circ - 48^\circ}{2} = \frac{132^\circ}{2} = 66^\circ$

$\angle AEC = \angle BEA - \angle BEC = 66^\circ$

$\angle CED = 69^\circ$

$\angle AEB + \angle BEC = 180$

$\angle DEC = 69^\circ$

$\angle BEC = 180 - 66^\circ = 114^\circ$

したがって、$EC= BC$となる。

$\angle CFE = x$とすると、$\angle CDE = 42$なので、$CD = DE$。$\angle DCE = \angle DEC = 69$

四角形ABCDはひし形なので、$\angle BCD + \angle ABC = 180$。

$\angle BCD = 180 - 48 = 132$

$DC = BC = AE$。

正方形AEFDなので、$AE = EF = FD = DA$

$\angle CFE = (180 - \angle ECF)/2$

$CD = AD$

$\angle ADC = 48$。 $\angle ADE = 90$。 $\angle EDC = 90 - 48 = 42$

$AD = CD$。 $AE = ED = AD$。

$CD = ED$なので、三角形EDCは二等辺三角形。

$\angle DEC = \angle DCE = (180-42)/2 = 69$

$BC = CD$

$\angle BCE + \angle ECD = \angle BCD = 180 - 48 = 132$

$\angle BCE = 132 - 69 = 63$

$CD=CB$

$\angle EFC = \angle ECF = 360 - 90-69)/2 = 58.5$

3. 最終的な答え

$75^\circ$