四角形ABCDはひし形、四角形AEFDは正方形である。$\angle ABC = 48^\circ$のとき、$\angle CFE$の大きさを求めなさい。

1. 問題の内容

四角形ABCDはひし形、四角形AEFDは正方形である。$\angle ABC = 48^\circ$のとき、$\angle CFE$の大きさを求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、ひし形の性質から、$\angle ADC = \angle ABC = 48^\circ$である。

また、ひし形の対角は二等分されるので、

$\angle ADB = \frac{1}{2}\angle ADC = \frac{1}{2} \times 48^\circ = 24^\circ$となる。

次に、四角形AEFDが正方形であることから、

$\angle ADF = 90^\circ$である。

したがって、$\angle EDF = \angle ADF = 90^\circ$である。

$\angle EDF$ と $\angle ADB$ より、

$\angle ADE = \angle EDF - \angle ADF = 90^\circ$

$\angle BDE = \angle ADE - \angle ADB = 90^\circ - 24^\circ = 66^\circ$

正方形AEFDの一辺の長さとひし形ABCDの一辺の長さは等しいので、$AD=AE=AB$である。

すると、$\triangle ABE$は二等辺三角形である。

$\angle ABE = \angle ABC= 48^\circ$なので、$\angle BAE = 180^\circ -2\angle ABE= 180^\circ - 2 \times 48^\circ = 180^\circ - 96^\circ = 84^\circ$

$\angle DAE=90^\circ$より、$\angle DAB = 360^\circ-90^\circ -84^\circ = 186^\circ$

これはありえないので、$\angle ABE$ が誤っている。

ひし形ABCDの辺の長さはすべて等しく、正方形AEFDの辺の長さもすべて等しい。また、ADは共通なので、$AD = AE = AB$である。

したがって、$\triangle ABE$は$AE=AB$の二等辺三角形である。

$\angle ABC=48^{\circ}$ より、$\angle BCD=48^{\circ}$なので、$\angle BAD= 180^{\circ}-48^{\circ}=132^{\circ}$

$\angle EAD = 90^\circ$であるため、$\angle BAE = \angle BAD - \angle EAD = 132^\circ - 90^\circ = 42^\circ$

$\triangle ABE$は$AE=AB$より二等辺三角形なので、$\angle AEB=\angle ABE = (180^{\circ} - 42^{\circ})/2=69^{\circ}$

ここで、$\angle AED= 90^{\circ}$であるため、$\angle BEC = 360^{\circ} - \angle AEB - \angle AED=90^{\circ}-69^{\circ}=21^{\circ}$

ひし形では向かい合う角は等しいので、$\angle ADC = \angle ABC = 48^{\circ}$

また、$\angle ADE = 90^{\circ}$であるので、$\angle EDC = 90^{\circ} - 48^{\circ}= 42^{\circ}$

また、$AD = DC = DE$であるため、$\triangle DEC$は二等辺三角形

$\angle DEC = 180^{\circ}-2*42^{\circ}=96^{\circ}$

$\angle FEC = 90^{\circ} +69^{\circ}= 159^{\circ}$

$\angle CFE = 180^{\circ} -(21^\circ +27^\circ) =54^{\circ}$

ここで、$\angle AFD= 90^{\circ} - \angle ADF$

3. 最終的な答え

$54^\circ$