自然数 $n$ に対して、$6^n - 1$ が $5$ の倍数であることを数学的帰納法を用いて証明する問題です。空欄 (1) から (6) に当てはまる式を答えます。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、$6^n - 1$ が $5$ の倍数であることを数学的帰納法を用いて証明する問題です。空欄 (1) から (6) に当てはまる式を答えます。

2. 解き方の手順

(1) $n=1$ のとき、$6^1 - 1$ を計算します。

(2) $n=k$ のとき、$6^k - 1 = 5m$ と表されると仮定します。

(3) $n=k+1$ のとき、$6^{k+1} - 1$ が $5$ の倍数になることを示します。

$6^{k+1} - 1 = 6 \cdot 6^k - 1$ と変形します。

仮定より $6^k = 5m + 1$ なので、$6 \cdot 6^k - 1 = 6(5m+1) - 1$ となります。

これを展開すると $30m + 6 - 1 = 30m + 5 = 5(6m + 1)$ となります。

$6m + 1$ は整数なので、$6^{k+1} - 1$ は $5$ の倍数となります。

3. 最終的な答え

(1) $6^1 - 1 = 5$

(2) $6^k - 1 = 5m$

(3) $n = k + 1$

(4) $6^{k+1} - 1$

(5) $6 \cdot 6^k - 1$

(6) $6m+1$