次の2つの和を計算し、$n$ を用いた簡単な式で表してください。 (1) $\sum_{k=1}^{n} \frac{2k+5}{(2k+1)(2k+3)} (\frac{1}{2})^{k+2}$ (2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+3)}$
2025/6/30
はい、承知いたしました。与えられた問題を解いていきましょう。
1. 問題の内容
次の2つの和を計算し、 を用いた簡単な式で表してください。
(1)
(2)
2. 解き方の手順
(1) について
を部分分数分解します。
とおくと、 となります。
のとき より
のとき より
したがって、 となります。
ここで、 とおくと、
(2) について
とおくと、 となります。
のとき より
のとき より
のとき より
=
=
=
=
=
=
=
=
3. 最終的な答え
(1)
(2)
答えが間違っていたため、計算し直します。
=
=
=
= .
=
(2)
.
---
1. 問題の内容
与えられた2つの級数 と を計算し、の関数として表す。
2. 解き方の手順
(1)
まず、 を部分分数分解する。
.
.
.
したがって, .
.
= .
.
テレスコープ。
(2)
.
.
.
.
.
3. 最終的な答え
(1)
(2)