9人の生徒を、以下の3つの場合に分けてグループ分けする方法の数を求める問題です。 (1) A, B, Cの3つの組に、3人ずつ分ける方法 (2) 3人ずつの3つの組に分ける方法 (3) 4人、4人、1人の3つの組に分ける方法

1. 問題の内容

9人の生徒を、以下の3つの場合に分けてグループ分けする方法の数を求める問題です。

(1) A, B, Cの3つの組に、3人ずつ分ける方法

(2) 3人ずつの3つの組に分ける方法

(3) 4人、4人、1人の3つの組に分ける方法

2. 解き方の手順

(1) A, B, Cの3つの組に3人ずつ分ける場合

まず、9人の中からAの組に入れる3人を選ぶ組み合わせは $_9C_3$通りです。

次に、残った6人の中からBの組に入れる3人を選ぶ組み合わせは $_6C_3$通りです。

最後に、残りの3人は自動的にCの組に入ります。

したがって、組み合わせの数は $_9C_3 \times _6C_3$となります。

$_9C_3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$

$_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

よって、$84 \times 20 = 1680$通りです。

(2) 3人ずつの3つの組に分ける場合

まず、9人の中から3人を選ぶ組み合わせは $_9C_3$通りです。

次に、残った6人の中から3人を選ぶ組み合わせは $_6C_3$通りです。

最後に、残りの3人は自動的に3人組に入ります。

しかし、組に区別がないため、3つの組の並び順を考慮する必要はありません。3つの組の並び順は3!通りなので、$_9C_3 \times _6C_3$を3!で割る必要があります。

$\frac{_9C_3 \times _6C_3}{3!} = \frac{84 \times 20}{3 \times 2 \times 1} = \frac{1680}{6} = 280$通りです。

(3) 4人、4人、1人の3つの組に分ける場合

まず、9人の中から4人を選ぶ組み合わせは $_9C_4$通りです。

次に、残った5人の中から4人を選ぶ組み合わせは $_5C_4$通りです。

最後に、残りの1人は自動的に1人の組に入ります。

4人の組が2つあるため、組に区別がないので、2!で割る必要があります。

よって、組み合わせの数は$\frac{_9C_4 \times _5C_4}{2!}$となります。

$_9C_4 = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

$_5C_4 = \frac{5!}{4!1!} = 5$

よって、$\frac{126 \times 5}{2} = \frac{630}{2} = 315$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 1680通り

(2) 280通り

(3) 315通り